TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 515

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Sei V=\mathbb{C}^3, U=\{(z_1, z_2, z_3)\in V|z_1-z_2=z_3\}, W=\{(z_1,z_2,z_3)\in V|z_2=z_1\}. Zeigen Sie, daß U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösung von mathematica4[Bearbeiten]

Dass U und W Teilräume von V sind, zeigt man mit den Unterraumkriterien:

- U und W sind nicht leer

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in U\quad

- Additivität

\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y}\in U,W\quad

- Homogenität

\lambda\overrightarrow{x}\in U,W\quad

Anwendung der Unterraumkriterien für U:

U ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\in U\quad

Additivität

Sei

\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x_1\\- x_2\\x_3\end{pmatrix}


\overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}y_1\\- y_2\\y_3\end{pmatrix}

Dann ist

\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y}=
\begin{pmatrix}x_1\\-x_2\\x_3\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}y_1\\-y_2\\y_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&+&y_1\\-x_2&+&-y_2\\x_3&+&y_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1+y_1\\--x_2-y_2\\x_3+y_3\end{pmatrix}
\in U\quad

Homogenität

\lambda\overrightarrow{x}=
\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda -x_2\\\lambda x_3\end{pmatrix}
\in U\quad

\Longrightarrow U ist ein Teilraum von V

Anwendung der Unterraumkriterien für W:

W ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\in W\quad

Additivität

Sei

\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\x_3\end{pmatrix}


\overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}y_1\\y_1\\y_3\end{pmatrix}

Dann ist

\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y}=
\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\x_3\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}y_1\\y_1\\y_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&+&y_1\\-x_2&+&-y_2\\x_3&+&y_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1+y_1\\--x_2-y_2\\x_3+y_3\end{pmatrix}
\in W\quad

Homogenität

\lambda\overrightarrow{x}=
\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda x_1\\\lambda x_3\end{pmatrix}
\in W\quad

\Longrightarrow W ist ein Teilraum von V

Dimension von U

Dimension von W

Links[Bearbeiten]

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