TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 516

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Sei V=\mathbb{C}^3, U=\{(z_1, z_2, z_3)\in V|z_1=2z_2=3z_3\}, W=\{(z_1,z_2,z_3)\in V|z_2=0\}. Zeigen Sie, daß U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet)

Zeige Unterraumkriterien für U:[Bearbeiten]

  • U ist nicht leer: Gegenbeispiel \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in U\quad\surd
  • Additivität:
Sei \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1/2\\x_1/3\end{pmatrix}, \overrightarrow{y}=\begin{pmatrix}y_1\\y_1/2\\y_1/3\end{pmatrix}
\Rightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=
\begin{pmatrix}x_1\\x_1/2\\x_1/3\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}y_1\\y_1/2\\y_1/3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&+y_1\\x_1/2&+y_1/2\\x_1/3&+y_1/3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1+y_1\\\frac{1}{2}(x_1+y_1)\\\frac{1}{3}(x_1+y_1)\end{pmatrix}
\in U\quad\surd
  • Homogenität:
\lambda\overrightarrow{x}=
\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda x_1/2\\\lambda x_1/3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\frac{1}{2}\lambda x_1\\\frac{1}{3}\lambda x_1\end{pmatrix}
\in U\quad\surd

\Longrightarrow\quad U ist Unterraum von V.

Zeige Unterraumkriterien für W:[Bearbeiten]

  • W ist nicht leer: Gegenbeispiel \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in W\quad\surd
  • Additivität:

\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}y_1\\0\\y_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1+y_1\\0\\x_3+y_3\end{pmatrix}
\in W\quad\surd
  • Homogenität:
\lambda\overrightarrow{x}=
\begin{pmatrix}\lambda x_1\\0\\\lambda x_3\end{pmatrix}=
\in W\quad\surd

\Longrightarrow\quad W ist Unterraum von V.

Dimension von U[Bearbeiten]

Die Basis von U ist z.B. \begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix}; der gesamte Teilraum U\subset\mathbb{C}^3 kann also von \lambda\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix} erzeugt werden, hängt also nur von einer Variablen ab \Longrightarrow\dim U=1.

Dimension von W[Bearbeiten]

Die kanonische Basis von W ist \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; der gesamte Teilraum W kann also von \lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab \Longrightarrow\dim W=2.

Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)

Links[Bearbeiten]

Wikipedia: