TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 519

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Sei A:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 die lineare Abbildung mit A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},A\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. Bestimmen Sie Kern A und dim(Kern A).

Hilfreiches[Bearbeiten]

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist f : V \to W eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge ker f := \{v \in V | f(v) = 0 \in W\} der Kern von f.

Lösung von fabs[Bearbeiten]

Nach der Angabe würde also ein beliebiger Vektor v aus R² folgendermaßen dargestellt werden können:
v = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
x und y könnte man nun in Abhängigkeit von a und b darstellen:
x = a + 2 \cdot b
y = a + b
bzw. a und b in Abhängigkeit von x und y:
a = 2 \cdot y - x
b = x - y
Auf diese Art umgeformt, sieht der Vektor v nun so aus:
v = (2y - x) \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + (x - y) \cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
Die Abbildung von v errechnet sich nun wie folgt:
A(v) = (2y - x) \cdot A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + (x - y) \cdot A\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
A(v) = (2y - x) \cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + (x - y) \cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
A(v) = \begin{pmatrix}2y - x\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\x - y\end{pmatrix}
A(v) = \begin{pmatrix}2y - x\\x - y\end{pmatrix}
Wie man leicht erkennen kann, ist die einzige Möglichkeit, wie die Abbildung A(v) 0 ergibt, x = y = 0. Mathematisch:
A(v) = 0 \Leftrightarrow x = y = 0
Der einzige Vektor, der diese Bedingung erfüllt, ist logischerweise der Nullvektor v = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}. Der Kern ist in diesem Fall also die leere Menge und daher Nulldimensional.

Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten]

kA obs so auch erlaubt ist zu berechnen (und ob ich alles richtig verstanden hab ;) ), falls ja ne schnellere Variante (grad keine Lust mich viel mit LaTeX herumzuschlagen, also eher nicht schön formatiert) :

Den Kern berechnet man, durch {x e V:f(x) = o} Durch die Linearität können wir unsere 2 Abbildungen auch zu einer Zusammenfassen u so auch den ganzen Raum V bzw R^2 darstellen, d. H. s*A(2,1)+t*A(1,1)=(0,0) =>s*(1,0)=-t*(0,1), es ist trivial zu erkennen, dass die einzige Lösung s=t=0 ist, daher ist die einzige Lösung der Nullvektor

Links[Bearbeiten]

Wikipedia:

Beispiele: