TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 519

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Sei die lineare Abbildung mit . Bestimmen Sie Kern und dim(Kern ).

Hilfreiches[edit]

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge der Kern von f.

Lösung von fabs[edit]

Nach der Angabe würde also ein beliebiger Vektor v aus R² folgendermaßen dargestellt werden können:

x und y könnte man nun in Abhängigkeit von a und b darstellen:


bzw. a und b in Abhängigkeit von x und y:


Auf diese Art umgeformt, sieht der Vektor v nun so aus:

Die Abbildung von v errechnet sich nun wie folgt:




Wie man leicht erkennen kann, ist die einzige Möglichkeit, wie die Abbildung A(v) 0 ergibt, x = y = 0. Mathematisch:

Der einzige Vektor, der diese Bedingung erfüllt, ist logischerweise der Nullvektor . Der Kern ist in diesem Fall also die leere Menge und daher Nulldimensional.

Lösungsvorschlag von m4rS[edit]

kA obs so auch erlaubt ist zu berechnen (und ob ich alles richtig verstanden hab ;) ), falls ja ne schnellere Variante (grad keine Lust mich viel mit LaTeX herumzuschlagen, also eher nicht schön formatiert) :

Den Kern berechnet man, durch {x e V:f(x) = o} Durch die Linearität können wir unsere 2 Abbildungen auch zu einer Zusammenfassen u so auch den ganzen Raum V bzw R^2 darstellen, d. H. s*A(2,1)+t*A(1,1)=(0,0) =>s*(1,0)=-t*(0,1), es ist trivial zu erkennen, dass die einzige Lösung s=t=0 ist, daher ist die einzige Lösung der Nullvektor

Links[edit]

Wikipedia:

Beispiele: