TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523

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Sei die Menge aller -Matrizen über mit . Man zeige, dass Normalteiler von der Gruppe aller regulären Matrizen A über ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Hilfreiches[edit]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, Wikipedia, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe .

Lösung von Gittenburg[edit]

U ist Teilmenge von G[edit]

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante ist.

U ist nicht leer[edit]

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen[edit]

Schlussfolgerung[edit]

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.