TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523

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Sei U die Menge aller n \times n-Matrizen B über \mathbb R mit \text{det } B = \pm 1. Man zeige, dass U Normalteiler von der Gruppe \langle G, \cdot\rangle aller regulären n \times n Matrizen A über \mathbb{R} ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Hilfreiches[Bearbeiten]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Lösung von Gittenburg[Bearbeiten]

U ist Teilmenge von G[Bearbeiten]

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

\forall A \in G: \text{det }A \neq 0

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante \pm 1 ist.

U ist nicht leer[Bearbeiten]

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen[Bearbeiten]

\forall A,B \in U: A \cdot B \in U

\text{det }(A \cdot B) = \text{det } A \cdot \text{det } B

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in \mathbb R kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.