TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 537

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Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K:

a) K=\mathbb{R}
b) K=\mathbb{Z}_2

\begin{array}{rcrcrcrl}
3x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &+&  x_4 &=2\\
 x_1 &+& x_2 &-&  x_3 &-&  x_4 &=1\\
5x_1 &+& x_2 &-& 3x_3 &+& 3x_4 &=1
\end{array}

Hilfreiches[Bearbeiten]

LGS-Äquivalenzumformungen[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:

  • Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
  • Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor \neq0,
  • Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.

a) Lösungsvorschlag von Hapi[Bearbeiten]

1. Schritt: nach dem Gauss-schen Eliminationsvervahren die erste und 2. Zeile vertauschen und aufschreiben

  1  1 -1 -1 | 1
  3  1 -2  1 | 2
  5  1 -3  3 | 1

2. Schritt: die erste Zeile 3x von der 2. Zeile und 5 + von der 3. Zeile subtrahieren

  1  1 -1 -1 |  1
  0 -2  1  4 | -1 ( 2 - 3 )
  0 -4  2  8 | -4 ( 1 - 5 )

3. Schritt: vertauschen Spalte 2 und 3, damit in der 2. Zeile 1 an erster Stelle steht (x1, x3, x2, x4 !)

  1 -1  1 -1 |  1
  0  1 -2  4 | -1
  0  2 -4  8 | -4 

4. Schritt: Zeile 2 von Zeile 3 dann 2x abziehen

  1 -1  1 -1 |  1
  0  1 -2  4 | -1 
  0  0  0  0 | -2 

Falls kein Rechenfehler unterlaufen ist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

Die dritte Zeile ergibt nämlich 4x die Variablen mit 0 multipliziert können nur 0 ergeben, nicht aber -2.

Hapi

b) Lösungsvorschlag von m0mo[Bearbeiten]

1. Schritt: Da wir uns in den Restklassen befinden können wir hier ein wenig kürzen!

  3  1 -2  1 | 2   
  1  1 -1 -1 | 1
  5  1 -3  3 | 1

-->

  1  1  0  1 | 0   
  1  1 -1 -1 | 1
  1  1 -1  1 | 1

2. Schritt: z2-z1 und z3-z1

  1  1  0  1 | 0   
  0  0 -1 -2 | 1
  0  0 -1 -2 | 1

-->

  1  1  0 1 | 0   
  0  0 -1 0 | 1
  0  0 -1 0 | 1

3. Schritt: z3-z2

  1  1  0 1 | 0   
  0  0 -1 0 | 1
  0  0  0 0 | 0

4. Schritt: vertauschen der Spalten x2 und x3

  1  0 1 1 | 0   
  0 -1 0 0 | 1
  0  0 0 0 | 0

Falls kein Rechenfehler unterlaufen ist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

Wie wir sehen ist zwar x3 berechenbar mit x3 = -1 jedoch x2 und x4 zum berrechnen von x1 sind nicht eindeutig!

x1 = -(x2+x4) x2 und x4 sind unbekannt!

Anmerkung von Ryus[Bearbeiten]

Nur weil die Lösung nicht eindeutig ist, ist das Gleichungssystem deswegen noch lange nicht unlösbar. Wir haben nur eine Lösungsmenge aus mehreren Elementen.

Unsere Matrix schaut so aus:

  1  0 1 1 | 0   
  0  1 0 0 | 1

Da wir auf der linken Seite die Einheitsmatrix haben, können wir das im Buch gezeigte Verfahren (Satz. 3.44) verwenden, um die allgemeine Lösung in Parameterdarstellung zu zeigen:

\mathbf{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}t_{1} \\ t_{2}\end{pmatrix}

Der Vektor links ist einfach die rechte Seite des Gleichungssystems um zwei Nuller ergänzt. Die ersten zwei Zeilen der Matrix bestehen aus der negativen rechten Teilmatrix im 2x4-Block (-1 = 1 in Z2) und der 2x2-Einheitsmatrix darunter. Da wir die Spalten 2 und 3 vertauscht haben, müssen wir dies hier aber nun noch entsprechend rückgängig machen. Durch weitere Auflösung erhält man dann:

\mathbf{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}*t_{1} + \begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}*t_{2}

Da wir in Z2 sind uns es für die Variablen nur zwei Werte gibt, können wir sogar alle Ergebnisse ausrechnen:

L = \left\{\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

Links[Bearbeiten]