TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 545

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Bestimmen sie den Rang der folgenden reellen Matrix:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ -4 & 3 & 5 & -6 & 7 \\ 5 & -4 &-6 & 7 & -8 \\ 3 & 2 &-4 & 5 & -6 \end{pmatrix}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Der Rang einer Matrix wird laut Wikipedia von der Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich Null sind, bestimmt. Dafür muss die Matrix zuerst mithilfe von Zeilen und Spaltenumformungen in die entsprechende Form gebracht werden.

Angabe:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ -4 & 3 & 5 & -6 & 7 \\ 5 & -4 & -6 & 7 & -8 \\ 3 & 2 & -4 & 5 & -6 \end{pmatrix}

Zeile 3 und 4 werden mit 2 multipliziert:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ -4 & 3 & 5 & -6 & 7 \\ 10 & -8 & -12 & 14 & -16 \\ 6 & 4 & -8 & 10 & -12 \end{pmatrix}

Danach wird die erste Spalte "genullt":

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & -6 & 9 \\ 0 & 7 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}

...und die zweite auch:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & -16 & 24 \end{pmatrix}

Jetzt werden die dritte und die vierte Zeile vertauscht:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -3 \\  0 & 0 & 8 & -16 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

und zuletzt, der Form halber, die dritte Zeile durch 8 gekürzt:

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -3 \\  0 & 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} -> der Rang der Matrix ist 3, da wir drei Zeilen haben, die ungleich Null sind.

--D4da 21:53, 9. Jan. 2011 (CET)