TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 556

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Bestimmen Sie die inverse Matrix A^{-1} zur Matrix

A = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}

Hinweis: im SS2007 ist es das Bsp 554[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Hochi[Bearbeiten]

(gerechnet mit Gauß-Jordan:

\begin{array}{ccc|ccc|ll}
-1&3&2 & 1&0&0            & Z_1=Z_1+Z_3\\
-2&4&6 & 0&1&0            & Z_2=Z_2+2Z_3\\
1&-2&2 & 0&0&1            & Z_3-Z_1\\
\hline
0&1&4  & 1&0&1           &Z_1=5Z_1-2Z_2\\
0&0&10 & 0&1&2           \\
1&-2&2 & 0&0&1           & Z_3=Z_3+2Z_1\\
\hline

0&5&0  & 5&-2&1           & Z_1=Z_1*2   \\
0&0&10 & 0&1 &2         &\\
1&0&10 & 2&0&3           & Z_3=(Z_3-Z_2)*10 \\
\hline

0&10&0  & 10&-4&2           & vertausche  Z_1-->Z_2    \\
0&0&10 & 0&1 &2         & vertausche  Z_2-->Z_3  \\
10&0&0 & 20&-10&10           & vertausche  Z_3-->Z_1   \\
\hline
10&0&0 & 20&-10&10          &   \\
0&10&0  & 10&-4&2             &   \\
0&0&10 & 0&1 &2           & \\
\end{array}

A^{-1} =  \frac{1}{10}  \begin{pmatrix}20&-10&10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-0.4&0.2\\0&0.1&0.2\end{pmatrix}
,

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

(gerechnet mit Gauß-Jordan (ohne Zeilen-/Spaltentausch)):

Die Spalten sind Angabe, Ergebnis, Operationen und Hilfsrechnung.


\begin{array}{rrr|rrr|ll}
-1&3&2 & 1&0&0            & -Z_1\\
-2&4&6 & 0&1&0            & Z_2-2Z_1\\
1&-2&2 & 0&0&1            & Z_3+Z_1\\
\hline
1&-3&-2& -1&0&0\\
0&-2&2 & -2&1&0           & -\frac{1}{2}Z_2\\
0&1&4  & 1&0&1            & Z_3+\frac{1}{2}Z_2\\
\hline
1&-3&-2& -1&0&0           & Z_1+3Z_2\\
0&1&-1 & 1&-\frac{1}{2}&0\\
0&0&5  & 0&\frac{1}{2}&1 & \frac{1}{5}Z_3\\
\hline
1&0&-5 & 2&-\frac{3}{2}&0 & Z_1+5Z_3\\
0&1&-1 & 1&-\frac{1}{2}&0 & Z_2+Z_3\\
0&0&1  & 0&\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\
\hline
1&0&0  & 2&-1&1          &           & [S_2: -\frac{3}{2}+5\frac{1}{10}=-\frac{15}{10}+\frac{5}{10}=-1]\\
0&1&0  & 1&-\frac{2}{5}&\frac{1}{5} && [S_2: -\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=-\frac{5}{10}+\frac{1}{10}=-\frac{2}{5}]\\
0&0&1  & 0&\frac{1}{10}&\frac{1}{5}
\end{array}

Probe:

\det\begin{pmatrix}-1&3&3\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}=10, \det\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\0&\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}=1/10\quad\surd


\begin{pmatrix}-1&3&3\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\0&\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\quad\surd

QED

--Baccus 01:37, 21. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}*{(A^\dagger)}^T

  • det(A) ... Determinante von A
  • A^\dagger ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

det(A) = (-1)*4*2 + 3*6*1 + 2*(-2)*(-2) - 2*4*1 - 3*(-2)*2 - (-1)*6*(-2) = -8 + 18 + 8 - 8 -12 + 12 = \mathit{10}

det(A) \neq 0 \Rightarrow A ist invertierbar!

A^\dagger = \begin{pmatrix}
+ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \\
- \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \\
+ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 6 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & 10 & 0 \\ -10 & -4 & 1 \\ 10 & 2 & 2\end{pmatrix}

Nun müssen wir die Matrix noch transponieren:

\begin{pmatrix}20 & -10 & 10 \\ 10 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}*A^\dagger = \frac{1}{10}*\begin{pmatrix}20 & -10 & 10 \\ 10 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} = \mathit{\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\ 1 & -0.4 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.2\end{pmatrix}}

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden[Bearbeiten]

Matrix A initialisieren[Bearbeiten]

  >> A = [-1 3 2; -2 4 6; 1 -2 2]
    A =
      -1     3     2
      -2     4     6
       1    -2     2

Determinante von A berechnen[Bearbeiten]

  >> detA = det(A)
    detA =
      10

Inverse von A berechnen[Bearbeiten]

  >> invA = inv(A)
    invA =
      2.0000   -1.0000    1.0000
      1.0000   -0.4000    0.2000
           0    0.1000    0.2000

Algebraisches Komplement von A berechnen[Bearbeiten]

  >> kompA = detA * invA
    kompA =
      20   -10    10
      10    -4     2
       0     1     2

Determinante von A^-1 bestimmen[Bearbeiten]

  >> det(invA)
    ans =
      0.1000

Manuell berechnete Inverse eingeben[Bearbeiten]

  >> invAmanual = 0.1*[20 10 0; -10 -4 1; 10 2 2]
    invAmanual =
      2.0000    1.0000         0
     -1.0000   -0.4000    0.1000
      1.0000    0.2000    0.2000

Determinante der manuell berechneneten Inversen (u.vgl.)[Bearbeiten]

  >> det(invAmanual)
    ans =
      0.1000