TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 557

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Bestimmen Sie die inverse Matrix A^{-1} zur Matrix

A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix}

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}*{A^\dagger}^T

  • det(A) ... Determinante von A
  • A^\dagger ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

det(A) = 1*4*2 + 3*6*(-1) + 2*2*(-2) - 2*4*(-1) - (-2)*3*2 - 1*6*2 = 8 - 18 - 8 + 8 -12 + 12 = \mathit{-10}

det(A) \neq 0 \Rightarrow A ist invertierbar!

A^\dagger = \begin{pmatrix}
+ \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \\
- \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 &  3\\ -1 & -2 \end{vmatrix} \\
+ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & -10 & 0 \\ -10 & 4 & -1 \\ 10 & -2 & -2\end{pmatrix}

Diese Matrix müssen wir noch transponieren:

\begin{pmatrix}20 & -10 & 10 \\ -10 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & -2\end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}*A^\dagger = -\frac{1}{10}*\begin{pmatrix}20 & -10 & 10 \\ -10 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & -2\end{pmatrix}  = \mathit{\begin{pmatrix}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -0.4 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.2\end{pmatrix}}


Links[Bearbeiten]

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden[Bearbeiten]

Siehe Beispiel_553! = TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 400