TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 562

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Für die Matrizen A und B mit

A = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}

bestimme man C = A \cdot B und verifiziere den Determinantensatz det(A) \cdot det(B) = det(C)!

Theoretische Grundlagen[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Determinante von A nach der Regel von Sarrus rechnen:

-1 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 2 - (-1) \cdot 6 \cdot (-2) = -8 + 18 + 8 - 8 + 12 - 12 = \mathit{10}

Determinante von B nach der Regel von Sarrus rechnen:

-1 \cdot (-4) \cdot 2 + 3 \cdot 6 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-4) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 6 \cdot (-2) = 8 + 18 - 8 + 8 - 12 - 12 = \mathit{2}

C =\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

\begin{matrix}
& & & -1 & 3 & 2 \\
& & & 2 & -4 & 6 \\
& & & 1 & -2 & 2 \\
-1 & 3 & 2 & \mathit{9} & \mathit{-19} & \mathit{20}\\
-2 & 4 & 6 & \mathit{16} & \mathit{-34} & \mathit{32} \\
1 & -2 & 2 & \mathit{-3} & \mathit{7} & \mathit{-6} \\
\end{matrix}

C =\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & -19 & 20 \\ 16 & -34 & 32 \\ -3 & 7 & -6\end{pmatrix}

Determinante von C nach der Regel von Sarrus rechnen:

9 \cdot (-34) \cdot  (-6) + (-19) \cdot  32 \cdot (-3) + 20 \cdot  16 \cdot 7 - 20 \cdot  (-34) \cdot  (-3) - (-19) \cdot 16 \cdot  (-6) - 9 \cdot  32 \cdot 7 = 1836 + 1824 + 2240 - 2040 - 1824 - 2016 = \mathit{20}

Die Richtigkeit des Determinantensatzes wurde an diesem Beispiel verifiziert, denn det(A) \cdot det(B) = 20 und stimmt mit det(C) überein!