TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 589

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Für die Vektoren \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} und \vec{z}=\begin{pmatrix}2\\ 2 \\ 1\end{pmatrix} berechne man

  1. die Längen von \vec{x},\vec{y} und \vec{z}
  2. den Winkel \phi zwischen \vec{x} und \vec{y}
  3. das Volumen des von \vec{x},\vec{y} und \vec{z} aufgespannten Parallelepipeds

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Längen der Vektoren[Bearbeiten]

Die Länge eines Vektors wird bestimmt durch: |\vec{v}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}.

  • |\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{\mathit{14}}
  • |\vec{y}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{\mathit{14}}
  • |\vec{z}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = \mathit{3}

Winkel zwischen den Vektoren[Bearbeiten]

Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus der Formel (Cosinussatz):

  • {|\vec{x} - \vec{y}|}^2 = {|\vec{x}|}^2 + {|\vec{y}|}^2 - 2*|\vec{x}|*|\vec{y}|*\cos\phi \qquad \Rightarrow \qquad \cos\phi = \frac{\vec{x}*\vec{y}}{|\vec{x}|*|\vec{y}|}

Somit ergibt sich:

\cos\phi = \frac{\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}}{\sqrt{14}*\sqrt{14}} = \frac{3 - 2 + 6}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}

\phi = \frac{\pi}{3} = 60 ^\circ

Zur Erinnerung - die Umrechnungsformelm: Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

  • Von Grad nach Bogenmaß:
{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Grad} \cdot \pi} {180}
  • Von Bogenmaß nach Grad:
{\rm Winkel}_{\rm Grad} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} \cdot 180} {\pi}

Volumen des Parallelepipeds[Bearbeiten]

Schematisch die Problemstellung:

Bsp567 1.png

Das Volumen errechnet sich aus dem äusseren Produkt (Spatprodukt) der Vektoren \vec{x} und \vec{y}, was wiederum einen Vektor ergibt. Dieser Vektor wird mit \vec{z} multipliziert - das sich ergebende Skalar ist das Volumen.

Zur Erinnerung: Das Spatprodukt errechnet sich wie folgt:

(Anm: Eigentlich ist das Spatprodukt von \mathfrak{x} , \mathfrak{y} , \mathfrak{z} so definiert (der Rechenweg bleibt aber richtig): \det( \mathfrak{x} , \mathfrak{y} , \mathfrak{z} ) oder eben  \langle \mathfrak{x} \times \mathfrak{y} , \mathfrak{z} \rangle. )

\vec{x}= \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}, \vec{y} = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} \times \vec{y} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix}x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3\end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\ x_3 & y_3\end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2\end{vmatrix}\end{pmatrix}

Somit müssen wir berechnen:

(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}) * \begin{pmatrix}2\\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 3 & 2\end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{vmatrix} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 + 3 \\ -(2-9) \\ -1-6\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 7 \\ -7\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = 14 + 14 + 7 = \mathit{35}

Gehört hier nicht: 14 + 14 - 7 = 21 ????? nein weil wir einen Betrag suchen ! --Zool 15:42, 1. Feb. 2009 (UTC)

es gehört aber der Betrag des Ergebnisses genommen und nicht jeder Term in der Gleichung positiv gesetzt
Das kommt daher, dass der Vektor ja auch nach im Raum "nach unten" gehen kann und damit das Volumen negativ wird (was nicht geht).
Deshalb nimmt man als Ergebnis einfach ein positives Vorzeichen