TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 597

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Für die Vektoren , und berechne man

  1. die Längen von , und
  2. den Winkel zwischen und
  3. das Volumen des von , und aufgespannten Parallelepipeds
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Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Längen der Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Länge eines Vektors wird bestimmt durch: .

Winkel zwischen den Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus der Formel (Cosinussatz):

Somit ergibt sich:

Zur Erinnerung - die Umrechnungsformelm: Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

  • Von Grad nach Bogenmaß:
  • Von Bogenmaß nach Grad:

Volumen des Parallelepipeds[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schematisch die Problemstellung:

Das Volumen errechnet sich aus dem äusseren Produkt (Spatprodukt) der Vektoren und , was wiederum einen Vektor ergibt. Dieser Vektor wird mit multipliziert - das sich ergebende Skalar ist das Volumen.

Zur Erinnerung: Das Spatprodukt errechnet sich wie folgt:

(Anm: Eigentlich ist das Spatprodukt von so definiert (der Rechenweg bleibt aber richtig): oder eben . )

Somit müssen wir berechnen:

Gehört hier nicht: 14 + 14 - 7 = 21 ????? nein weil wir einen Betrag suchen ! --Zool 15:42, 1. Feb. 2009 (UTC) - Doch, das Ergebnis ist 21. Der Betrag wird am Ende genommen, irgendwann beliebig zwischendurch Vorzeichen weglassen ist absoluter Unsinn.

es gehört aber der Betrag des Ergebnisses genommen und nicht jeder Term in der Gleichung positiv gesetzt
Das kommt daher, dass der Vektor ja auch nach im Raum "nach unten" gehen kann und damit das Volumen negativ wird (was nicht geht).
Deshalb nimmt man als Ergebnis einfach ein positives Vorzeichen

alternativer Lösungsweg von Persie0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manch ein Tutor will lieber den Weg über die Determinante sehen.

Mit der Formel (ist auch im Buch) von Wikipedia: Für ist das Volumen dann:

also der Betrag der Determinante ist das Volumen.

In unserem Fall:

Anschließend kann man sich mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung die Determinante einfach ausrechnen, wobei 21 das Ergebnis ist.