TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 592

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Im \R^3 sei ein verallgemeinertes Skalarprodukt gegeben durch die Matrix


G = \begin{pmatrix}
13 & 0 & -5\\
0 & 9 & -6 \\
-5 & -6 & 6
\end{pmatrix}

Berechnen Sie für die Vektoren \vec{x}=(1,2,3) \text{ und } \vec{y}=(3,-1,2)

(a) die Längen von \vec{x} \text{ und } \vec{y}

(b) den Winkel \varphi \text{ zwischen } \vec{x} \text{ und } \vec{y}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Piri (Diskussion) 22:39, 29. Dez. 2018 (CET)

(a)

 \qquad ||\vec{x}||_{G} = \sqrt{\langle \vec{x},\vec{x} \rangle_{G}} = \sqrt{\vec{x}^{\;T} \cdot G \cdot \vec{x}} = 1

||\vec{y}||_{G} = \sqrt{\langle \vec{y},\vec{y} \rangle_{G}}  = \sqrt{114}

(b) Für den Winkel benötigen wir noch das normale Skalarprodukt

 \qquad \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle_{G} = \vec{x}^{\;T} \cdot G \cdot \vec{y} = -4

 
\cos{\varphi} = \frac{\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle_{G}}{||\vec{x}||\cdot ||\vec{y}||}
\quad \Leftrightarrow \quad
\cos{\varphi} = \frac{-4}{1\cdot\sqrt{114}}
\quad \Rightarrow \quad \varphi \approx 112^{\circ}