TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 67

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Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Kongruenzen bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit (in ).
a) x² − 3x + 2 0 mod 5

b) x² − 3x + 2 0 mod 6

Hilfreiches[edit]

a b mod m a = b + mk bzw. b = a + mq

Lösungsvorschlag von neo[edit]

a) x² − 3x + 2 0 mod 5 3x-x² 2 mod 5 x(3-x) 2 mod 5 Nachdem ich umgeformt habe folgt daraus:
Die Restklasse von 2 entspricht der Restklasse von x(3-x). Da modulo 5 gerechnet wird, gibt es 5 Restklassen (0-4) und die setzt man dann für x ein.
0*(3-0)=0
1*(3-1)=2
2*(3-2)=2
3*(3-3)=0
4*(3-4)=-4
Es gibt also zwei Lösungen x1 und x2 (Restklasse 1 bzw. 2). Daraus folgt:
x1 = 1 mod 5 x1 = 1+5k
x2 = 2 mod 5 x2 = 2+5k
Also ist die Gesamtlösung: x = 1+5k, 2+5k k (Ich hoffe das ist so mathematisch korrekt aufgeschrieben)

b) x² − 3x + 2 0 mod 6 -> 3x-x² 2 mod 6 x(3-x) 2 mod 6
Wieder alle Restklassen durchprobieren wie oben. Als Ergebnis bekommt man 1*(3-1)=2 und 2*(3-2)=2 (Restklasse 1 und 2).Wieder beide Lösungen untersuchen.
x1 1 mod 6 x1 = 1 + 6k
x2 2 mod 6 x2 = 2 + 6k
Gesamtlösung: x = 1+6k, 2+6k k

Alines Team fragt: Müsste dann nicht für x = 4 und x = 5 auch 0 mod 6 sein? 4^2-3*4+2= 6, 6 0 mod 6. Und auch 5^2 - 3 * 5 + 2 = 12, 12 0 mod 6 ???