TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 73

Gegeben sei eine naturliche Zahl x in Dezimaldarstellung:

$x=a_{n}a_{n-1}...a_{0}=a_{n}\cdot 10^{n}+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+...+a_{0}\cdot 10^{0}$

Beweisen Sie: Die Zahl x ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die alternierende Ziffernsumme $a_{0}-a_{1}+a_{2}...+(-1)^{n}\cdot a_{n}$

durch 11 teilbar ist.

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Zunächst gilt 10 = -1 (mod 11).

Wegen der Verträglichkeit der Kongruenzen mit Multiplikation folgt 10k = (-1)k (mod 11)

und aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition folgt die Behauptung: dk·10k+dk-1·10k-1+· · ·+d1·10+d0 = dk·(-1)k+· · ·+d1·(-1)+d0 (mod 11).

=> Ist nun a ? Z eine Zahl und ihre Darstellung im Zehnersystem gegeben durch a = dk · 10^k +· · ·+d1 · 10 +d0 mit 0 = di = 9. (Hierbei wurde a = 0 angenommen, da das Vorzeichen fur die Teilbarkeit durch 11 keine Rolle ¨ spielt.)

Definiere die alternierende Quersumme von a durch folgende Regel: Qalt(a) := d0 - d1 + d2 - · · · + (-1)^k·dk. Dann gilt nach obiger Kongruenz stets a = Qalt(a) (mod 11)

Daher ist die Zahl a genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Quelle: [1]