TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 71

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Gegeben sei eine naturliche Zahl x in Dezimaldarstellung:

x = a_na_{n-1} . . . a_0 = a_n\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1} + . . . + a_0\cdot 10^0

Beweisen Sie: Die Zahl x ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die alternierende Ziffernsumme a_0 - a_1 + a_2 . . . + (-1)^n\cdot a_n

durch 11 teilbar ist.

Zunächst gilt 10 = -1 (mod 11).

Wegen der Verträglichkeit der Kongruenzen mit Multiplikation folgt 10k = (-1)k (mod 11)

und aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition folgt die Behauptung: dk·10k+dk-1·10k-1+· · ·+d1·10+d0 = dk·(-1)k+· · ·+d1·(-1)+d0 (mod 11).

=> Ist nun a ? Z eine Zahl und ihre Darstellung im Zehnersystem gegeben durch a = dk · 10^k +· · ·+d1 · 10 +d0 mit 0 = di = 9. (Hierbei wurde a = 0 angenommen, da das Vorzeichen fur die Teilbarkeit durch 11 keine Rolle ¨ spielt.)

Definiere die alternierende Quersumme von a durch folgende Regel: Qalt(a) := d0 - d1 + d2 - · · · + (-1)^k·dk. Dann gilt nach obiger Kongruenz stets a = Qalt(a) (mod 11)

Daher ist die Zahl a genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Quelle: [1]