TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 84

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Gelten folgende Formeln? Geben Sie jeweils eine verbale Begründung.

(a) \forall x \in \N \ \exist y \in \N: x <y
(b) \exist y \in \N \ \forall x \in \N: x <y
(c) \forall x \in \N \ \exist y \in \N: y <x

(d) \forall x \in \Z \ \exist y \in \Z: y <x

Hilfreiches[Bearbeiten]

Peano-Axiome

  1. 0 (Null) ist eine natürliche Zahl
  2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger
  3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
  4. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger
  5. Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt und sich von jeder natürlichen Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen natürlichen Zahlen zu

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Beispiel a[Bearbeiten]

\forall x \in \N \ \exist y \in \N: x <y<br\>

In Worten: Für jedes x Element aus den natürlichen Zahlen, kann man ein y finden, welches größer ist als x.

Diese Behauptung gilt, weil man für jedes x ein y finden kann das größer ist als x (z. B.: y = x +1)

Beispiel b[Bearbeiten]

\exist y \in \N \ \forall x \in \N: x <y

In Worten: Es existiert ein y, Element aus den natürlichen Zahlen, welches größer ist, als alle natürlichen Zahlen x

Das hier gilt nicht, weil es bedeuten würde, dass es zumindest einen Wert y \in \N geben muss, der größer als alle x \in \N

Es würde auch folgen, dass y < y sein muss und das kann nun mal auch nicht sein.

Beispiel c[Bearbeiten]

\forall x \in \N \ \exist y \in \N: y <x

Diese Formel gilt nicht, weil man nicht für jedes x ein kleiners y finden kann. Im Speziellen für x = 0 kann kein kleineres y \in \N gefunden werden

Beispiel d[Bearbeiten]

\forall x \in \Z \ \exist y \in \Z: y <x

Nun hier gilt die Formel wieder, weil man nicht mehr an den Zahlbereich von \N gebunden ist, also auch negative Zahlen vorhanden sind.