TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 9

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Man beweise mittels vollständiger Induktion:

\sum_{l=1}^{n} \frac{l}{3^l} = \frac{3}{4} - \frac{2n+3}{4*3^n}

Induktionsanfang: n = 1

Induktionsvoraussetzung: es muss gezeigt werden das gilt \sum_{l=1}^{n+1} \frac{l}{3^l} = \frac{3}{4} - \frac{2(n+1)+3}{4*\mathrm{3}^{n+1}}

Induktionsschluss: Zur rechten Seite wird \frac{n+1}{\mathrm{3}^{n+1}} addiert.

Um die Nenner auf gleich zu bringen wird \frac{2n+3}{4*3^n} mit 3 multipliziert und \frac{n+1}{\mathrm{3}^{n+1}} mit 4 multipliziert. Dann kommt heraus

\frac{3}{4} - \frac{3(2n+3)-4(n+1)}{4*\mathrm{3}^{n+1}}

Man darf dabei nicht vergessen das der Bruch subtrahiert wird und daher die Vorzeichen wechseln.

Danach die Klammern auflösen bis folgendes übrig bleibt:

= \frac{3}{4} - \frac{6n+9-4n-4}{4*\mathrm{3}^{n+1}}

= \frac{3}{4} - \frac{2n+5}{4*\mathrm{3}^{n+1}}

= \frac{3}{4} - \frac{2(n+1)+3}{4*\mathrm{3}^{n+1}}

q.e.d (quod erat demonstrandum)