TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 1

Man überprüfe die Gleichung

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösung von samuelp

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n	links	rechts
$1$	$1$	${\frac {6}{6}}$
$2$	$5$	${\frac {30}{6}}$
$3$	$14$	${\frac {84}{6}}$
$4$	$30$	${\frac {180}{6}}$
$5$	$55$	${\frac {330}{6}}$

Alle stimmen überein. Der Induktionsanfang $n=0$ ist damit auch gelöst.

Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$

Induktionshypothese: $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}$

Linke Seite:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}k^{2}&=\sum _{k=0}^{n}k^{2}+(n+1)^{2}\\&{\overset {I.H.}{=}}{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}\\&={\frac {(n^{2}+n)(2n+1)}{6}}+{\frac {6(n^{2}+2n+1)}{6}}\\&={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}+{\frac {6n^{2}+12n+6}{6}}\\&={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}\end{aligned}}$

Rechte Seite:

${\begin{aligned}{\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}&={\frac {(n^{2}+3n+2)(2n+3)}{6}}\\&={\frac {2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}}\\\end{aligned}}$

Beide Seiten sind gleich somit ist die Induktionsbehauptung wahr.