TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Gruppen Montag

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UE1 6 11 14 19 23 26
UE2 31 33 52 62 65 69
UE3 76 91 97 105 108 121
UE4 137 141
UE5 154 160 191 286 305 321
UE6 337 355 363 368 373 379
UE7 324 393 Z1 412 422 427
UE8 441a 444
UE9 447 453 456 475 500 506
UE10 514 517 523 539 565 573
UE11 542 581 587 592 210 218
UE12 222 241

Übung 1

Beispiel 6

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

Beispiel 11

Ist , und für alle , so gilt

Beispiel 14

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge und für allgemein gilt:

, für alle

Beispiel 19

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche die angegebene Ungleichung gilt:

Beispiel 23

Wo steckt der Fehler im Induktions-”Beweis“ der folgenden Behauptung:

Ist in einer Gruppe von Personen eine Person blond, so sind alle blond.

Beweis:

a) : Hier stimmt die Behauptung trivialerweise.

b) Die Behauptung gelte für Gruppen der Größe . Nun sei von Personen eine blond. Man betrachte diese Person zusammenmit weiteren. Dann sind nach Induktionsannahme diese Personen auch blond. Folglich ist in der Gruppe dieser Personen zusammen mit der noch nicht betrachteten Personen wieder wenigstens eine blond, woraus folgt, daß auch diese letzte Person blond sein muss.

Beispiel 26

Zeigen Sie, dass irrational ist!

Übung 2

Beispiel 31

Man finde alle sechsten Wurzeln von in und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

Beispiel 33

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 33

Beispiel 52

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 52

Beispiel 62

Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit:

Beispiel 65

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 65

Beispiel 69

Im europäischen Artikelnummersystem EAN werden Zahlen mit 13 Dezimalziffern der Form verwendet. Dabei wird die letzte der 13 Ziffern, das ist die Prüfziffer p im EAN-Code so bestimmt, dass

gilt. Man zeige, dass beim EAN-Code ein Fehler in einer einzelnen Ziffer stets erkannt wird, während eine Vertauschung von zwei benachbarten Ziffern genau dann nicht erkannt wird, wenn die beiden Ziffern gleich sind oder sich um 5 unterscheiden.

Übung 3

Beispiel 76

Entscheiden Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob die folgende Äquivalenz richtig ist:

Beispiel 91

Beweisen Sie die folgenden Beziehung mit Hilfe von Elementtafeln oder geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel an:

Beispiel 97

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Identitäten für Mengen:

Beispiel 105

Man zeige, daß durch für alle eine Äquivalenzrelation in der Menge erklärt wird, und bestimme die zugehörende Partition.

Beispiel 108

Stellen Sie die folgenden Relationen im kartesischen Koordinatensystem und auch als gerichteten Graphen dar, und untersuchen Sie weiters, ob eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Beispiel 121

Für sei , falls ein Teiler von ist und und teilerfremd sind. Man untersuche, ob die Relation R eine Halbordnung ist und ermittle gegebenfalls das Hassediagramm.

Übung 4

Beispiel 137

Seien und surjektive Abbildungen. Man zeige, dass dann auch surjektiv ist. ()

Beispiel 141

Man zeige, daß die Funktion bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Übung 5

Beispiel 154

Von weißen Kugeln, die mit den Zahlen nummeriert sind, sollen Kugeln schwarz eingefärbt werden. Wieviele derartige Färbungen gibt es unter der Einschränkung, dass die Kugel mit der Nummer schwarz ist, und alle Kugeln mit einer höheren Nummer weiß bleiben? Erklären Sie, warum aus dem Ergebnis die folgende Gleichung folgt:

Beispiel 160

Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einem 50-bändigen Lexikon genau 6 Bücher auszuwählen,wobei zwischen zwei ausgewählten Bänden immer mindestens drei im Regal stehen bleiben sollen?

Beispiel 191

Wieviele natürliche Zahlen n mit gibt es, die weder Quadrat, noch dritte, vierte oder fünfte Potenz einer natürlichen Zahl sind?

Beispiel 286

Gegeben sei der ungerichtete Graph mit und . Man veranschauliche G graphisch, bestimme seine Adjazenzmatrix sowie alle Knotengrade und zeige, dass die Anzahl der Knoten, die einen ungeraden Knotengrad besitzen, gerade ist. Gilt diese Aussage für jeden ungerichteten Graphen?

Beispiel 305

Man bestimme alle Bäume T, für die auch ein Baum ist. bezeichne einen komplementären Graphen definiert durch: und

Beispiel 321

Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra einen kürzesten Weg zwischen den Knoten x und y im folgenden Graphen:

Bsp213 1.png

Übung 6

Beispiel 337

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

Beispiel 355

Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß eine Gruppe ist:

Beispiel 363

Man bestimme alle Untergruppen der Gruppe aller Permutationen von drei Elementen mit der Operation der Hintereinanderausführung.

Beispiel 368

Sei U die von (1)(23) erzeugte Untergruppe der . Man bestimme die Rechtsnebenklassen von U. Ist U ein Normalteiler von ?

Beispiel 373

Man zeige, daß die von erzeugte Untergruppe von ein Normalteiler von ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe .

Beispiel 379

Sei ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann eine Untergruppe von ist.

Hinweis: Das Beispiel entspricht der Übungsaufgabe 2.36 aus dem Buch Mathematik für Informatik.

Übung 7

Beispiel 324

Man bestimme zu den Permutationen

die Permutationen und sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

Beispiel 393

Von der Abbildung sei bekannt, daß ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass

.

Man ermittle f für alle Element von

Beispiel Z1

Betrachten Sie die Gruppe .

Sei . Zeigen Sie, dass ein Normalteiler von ist.

Zeigen Sie weiters, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.

Verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu isomorphe Untergruppe von zu finden.

Beispiel 412

Von der Menge sei bekannt:

i)

ii)

iii) ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus ).

Zeigen Sie, dass sein muss.

Beispiel 422

Sei ein Ring. Man zeige, dass dann auch mit den Operationen

ein Ring ist.

Beispiel 427

Man ermittle, ob beim Übergang von zu (Beispiel 422) die folgenden Eigenschaften erhalten bleiben:

  1. Kommutativität,
  2. Nullteilerfreiheit,
  3. Existenz eines Einselements.

Übung 8

Beispiel 441

Nur teilweise gelöst: b) ist ungelöst.

Man zeige, dass die folgenden algebraischen Strukturen Verbände sind. Welche sind außerdem distributiv, und welche sind Boolesche Algebren

a)

b)

Beispiel 444

Sei die Menge aller Teiler von 60. Bestimmen Sie alle Komplemente in . Ist diese Struktur eine Boolsche Algebra?

Übung 9

Beispiel 447

Bildet mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über

Beispiel 453

Untersuchen Sie, ob Teilraum des Vektorraums über ist und beschreiben Sie die Menge geometrisch:

Beispiel 456

Untersuchen Sie, ob Teilraum des Vektorraums über ist und beschreiben Sie die Menge geometrisch:

Beispiel 475

Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 474) der die Polynome und enthält.

Beispiel 500

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 500

Beispiel 506

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 506

Übung 10

Beispiel 514

Sei

Zeigen Sie, dass und Teilräume von sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Beispiel 517

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 517

Beispiel 523

Sei die Menge aller -Matrizen über mit . Man zeige, dass Normalteiler von der Gruppe aller regulären Matrizen A über ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Beispiel 539

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 539

Beispiel 565

Man berechne:

Beispiel 573

Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche ist die Matrix A singulär?

b) Bestimmen Sie für die inverse Matrix .

Übung 11

Beispiel 542

Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen mit Lösungsmengen . Geben Sie jeweils eine Systemmatrix

mit geeigneten und aus so an, dass die folgende Lage zueinander haben:

(a)

(b) , und alle drei Schnitte und sind eindimensional und parallel zur z-Achse.

Beispiel 581

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:

Beispiel 587

Gegeben sei die lineare Funktion

(a) Geben Sie eine geometrische Interpretation von

(b) Wie lautet die Matrixdarstellung für (bezüglich der kanonischen Basis)?

(c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

(d) Geben Sie sämtliche Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren von an (anschauliche Begründung genügt).

Beispiel 592

Im sei ein verallgemeinertes Skalarprodukt gegeben durch die Matrix

Berechnen Sie für die Vektoren

(a) die Längen von

(b) den Winkel

Beispiel 210

{{Beispiel|status=Datei|1= Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

(für )

und die partikuläre Lösung, die der Anfangsbedingung genügt.

Beispiel 218

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

  1. (a)
  2. (b)
  3. (c)

Übung 12

Beispiel 222

Man bestimme die Lösung nachstehender Differenzengleichung zu den vorgegebenen Anfangsbedingungen:

Beispiel 241

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 241