TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 128

Seien $R_{1}$ und $R_{2}$ Halbordnungen auf der Menge M. man beweise, dass dann auch ihr Durchschnitt $R=R_{1}\cap R_{2}$ Halbordnung auf M ist.

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Hilfreiches

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Prinzipiell muss man sich nur klar werden, dass nur alle jene Tupel $(a,b)\in R$ sind wenn gilt $aRb\Longleftrightarrow (aR_{1}b)\land (aR_{2}b)$

damit lassen sich die Eigenschaften einer Halbordung relativ leicht zeigen.

Reflexivität

$aRa\Longleftrightarrow (aR_{1}a)\land (aR_{2}a)$

Nachdem die rechte Seite auf jeden Fall gilt ($R_{1},R_{2}$ sind per Definition Halbordnungen), muss auch die linke Seite gelten

Antisymmetrie

$\left(aRb\land bRa\Rightarrow a=b\right)\Longleftrightarrow \left(\left(aR_{1}b\land bR_{1}a\Rightarrow a=b\right)\land \left(aR_{2}b\land bR_{2}a\Rightarrow a=b\right)\right)$

In anderen Worten: Würde $aRb\land bRa\Rightarrow a=b$ nicht gelten, dann würde es auch keine Beziehung der Form $aR_{1}b\land bR_{1}a\Rightarrow a=b$ geben. Daher kann aber (a,b) kein Element von R sein.

Transitivität

$aRb\land bRc\Rightarrow aRc\Longleftrightarrow \left(\left(aR_{1}b\land bR_{1}c\Rightarrow aR_{1}c\right)\land \left(aR_{2}b\land bR_{2}c\Rightarrow aR_{2}c\right)\right)$

Nur weil die Transitivität sowohl in $R_{1}$ als auch $R_{2}$ gilt, sind die Elemente in der Schnittmenge R. Dadurch gilt die Transitivität aber natürlich auch in der Schnittmenge selbst.