TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 170

Man bestimme die Anzahl der möglichen 6 aus 45-Lottotips und die Anzahl der möglichen richtigen Vierer (d. h., die Anzahl derjenigen 6-elementigen Teilmengen von {1, 2, . . . , 45}, die mit einer vorgegebenen 6-elementigen Teilmenge genau 4 Elemente gemeinsam haben).

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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Anzahl der Lottotips: $C_{n}^{k}=C_{45}^{6}={\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}}$

Ergänzung von Aeroflare

Nachdem wir die Anzahl der Tips haben müssen wir noch die 4er Tips rausfinden. Vier Zahlen müssen aus den sechs richtigen Zahlen sein... die restlichen zwei kommen natürlich aus dem nicht gezogenem Pool. Also ${\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}39\\2\end{pmatrix}}=11115$

Ich bin der Meinung das die Lösung falsch ist

für je 4 Zahlen habe ich genau eine Möglichkeit wie sie sein sollen = 1 * 1 * 1 * 1 = 1

für die anderen zwei Zahlen habe ich je 39 Möglichkeiten (damit sie falsch sind 45 - 6) = 39 * 39

= 1 * 1 * 1 * 1 * 39 * 39

dieses Ergebnis ist nun noch zu Permudieren, da die Reihenfolge nicht relevant ist

$(1*1*1*1*39*39)*{\frac {6!}{4!*2!}}=22815$

mfg BOERK

Da es sich beim Lotto um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, hat Aeroflare recht. Siehe Wikipedia.

Außerdem: du hast für die 4 richtigen nicht nur eine möglichkeit wie sie sein sollen, da es ja insgesamt 6 richtige gibt aus denen nur 4 in deiner menge enthalten sein sollen.

Ergänzung von Foonz

Meiner Meinung nach muss es ${\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}39\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}38\\1\end{pmatrix}}=(1*1*1*1*39*38)*{\frac {6!}{4!*2!}}=22230$ sein.

mfg foonz

Ergänzung von MatheFreak

Meiner Meinung nach ist die Lösung von Aeroflare schon die richtige! Der Ansatz von Boerk/ Foonz sind von der Idee her schon richtig, nur sie vermachlässigen die Tatsache, dass die beiden "falschen" Kugeln keiner Reihenfolge unterworfen sind.
D.h., die Möglichkeiten 2 Kugeln aus 39 zu ziehen ist ${39 \choose 2}={\frac {39\cdot 38}{2}}$

Ergänzung von Peter1058

Meiner Meinung nach ist Aeroflare richtig! Ich hab´ 4 Kugeln die mit 4 von den 6 richtigen übereinstimmen also 6 über 4 - Passt! 2 von meinen 6 gewählten sind jedoch falsch, heißt sie wurden aus einem Kugelhaufen gezogen, wo die 6 richtigen nicht enthalten sind: 45 - 6 richtige Kugeln = 39 und *trommelwirbel* tada: wir haben 2 Kugeln aus 39 möglichen = 39 über 2 :-)

Lösungsvorschlage von Me.Name

Ja alle möglichen Fälle von 6 aus 45. Das ist ja das ganz gewöhnliche n über k (Kombination ohne Wiederhohlung): ${\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{k!*(n-k)!}}={\frac {45!}{6!*(45-6)!}}=8145060$

Die 2te Frage verstehe ich so, dass man rausfinden soll wieviele 4er es beim Lotto gibt. Hab mal diese Formel auf Wiki gefunden(link siehe unten):

Die Treffer-Wahrscheinlichkeit beim Lotto lässt sich über die hypergeometrische Verteilung ermitteln durch $P_{r}={\dfrac {{\tbinom {6}{r}}{\tbinom {N-6}{6-r}}}{\tbinom {N}{6}}},r\in \{0,\ldots ,6\}$:

Von dieser Formel brauchen wir aber nur den oberen Teil. ${{\tbinom {6}{r}}{\tbinom {N-6}{6-r}}}$ (r ist hierbei unser k) und das ist dann so viel wie: ${\frac {6!}{k!*(6-k)!}}*{\frac {(45-6)!}{(6-k)!*(39-(6-k))!}}={\frac {6!}{4!*(6-4)!}}*{\frac {(45-6)!}{(6-4)!*(39-(6-4))!}}={\frac {6!}{4!*2!}}*{\frac {39!}{2!*37!}}=11115$

Wenn man jetzt alle 3er haben will muss man halt für jedes k 3 einsetzten, für die 5er, 2er und 1er gilt das natürlich auch.

6 aus 49 (N=49)			6 aus 45 (N=45)
H 49,6,6			H 45,6,6
r	Anzahl	Wahrscheinlichkeit (P) in %	r	Anzahl	Wahrscheinlichkeit (P) in %
0	6.096.454	43,596	0	3.262.623	40,056
1	5.775.588	41,302	1	3.454.542	42,413
2	1.851.150	13,238	2	1.233.765	15,147
3	246.820	1,7650	3	182.780	2,2441
4	13.545	0,096862	4	11.115	0,13646
5	258	0,0018450	5	234	0,0028729
6	1	0,0000071511	6	1	0,000012277
∑	13.983.816	100	∑	8.145.060	100
Erwartungswert		0,735	Erwartungswert		0,800
Streuung		0,578	Streuung		0,615

Hier noch der Link für weitere Infos: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lotto&oldid=85181854

Wie üblich beim Lotto: alle Angabe ohne gewähr.

Links zu weiteren Lösungen zum selben Beispiel

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 160