TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 344

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=2\},z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}$

Lösungsvorschlag von neo

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Hier werden wieder wie bei Beispiel 138 nur Realteile bzw. Imaginärteile miteinander multipliziert.
Alle Möglichkeiten, für welche gilt $|z|=2$
$\pm 2\pm 0i$ bzw. $0\pm 2i\,\,\to \,\,(\pm 2)^{2}=4=a^{2}+b^{2}$
$\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {2}}i\,\,\to (\pm {\sqrt {2}})^{2}=2\,\,\to \,\,2+2=4=a^{2}+b^{2}$

Bei jede dieser Zahlen gilt also: $(a=0\land b=2)\lor (a=2\land b=0)\lor (a={\sqrt {2}}\land b={\sqrt {2}})$
Wenn man nun diese Zahlen miteinander multipliziert, gibt es zwei Möglichkeiten:
$z_{1}z_{2}\in M\to (\pm 2)^{2}\to {\sqrt {4^{2}+0^{2}}}=4=|z|\to a=0,b=4\,\lor \,a=4,b=0\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {16}}=4\notin M$
$z_{1}z_{2}\in M\to (\pm {\sqrt {2}})^{2}+(\pm {\sqrt {2}})^{2}=2+2=4=|z|\to a=2,b=2\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {8}}\notin M$
$\Rightarrow kein\,Gruppoid$