TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 396

Seien (G, ∗) und (H, ·) zwei Gruppen. Untersuchen Sie, ob (G × H, ◦) mit (a, b) ◦ (c, d) = (a ∗ c, b · d) ebenfalls eine Gruppe ist

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Lösungsvorschlag von Königd

--Königd 16:37, 10. Jun. 2019 (CEST)

Grundsätzlich ist dieses Beispiel sehr einfach zu lösen, denn es ist nahezu alles gegeben. Es werden hier zwei Mengen gekreuzt welche auf ihren Operationen eine Gruppe bilden. Die neue Gruppe besteht dann aus Tupel für das gilt:

$(a,b)\forall a\in G\land \forall b\in H$

Wenn man genau hinsieht, merkt man dass die Operation der Gruppe $(G\times H,\circ )$ komponentenweise ausgeführt wird, und das noch dazu mit der selben operation aus $G$ und $H$. Dadurch vererbt sich gleich die Gruppeneigenschaft auf diese neue Gruppe.

1. Die Assoziativität ist von $G$ und $H$ gegeben.
2. Das neutrale Element ist $(e_{G},e_{H})$.
3. Die Inversen Elemente sind das inverse der Einzelnen verbunden.