TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 405

Sei $(\Gamma _{9},*)$ die Gruppe aus Bsp. 397). Man bestimme die vom Element ${\overline {8}}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in $\Gamma _{9}$.

Lösungsvorschlag von neo

$U=\{{\overline {1}},{\overline {8}}\}$
Assoziativität ist gegeben, da sie in ganz $\Gamma _{9}$ gilt.

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {8}}={\overline {8}}$
${\overline {8}}*{\overline {1}}={\overline {8}}$
${\overline {8}}*{\overline {8}}={\overline {1}}$
$\forall a,b\in U\mid a\circ b\in U\Rightarrow abgeschlossen$

$\forall a\in U\exists e\in U\mid a\circ e=e\circ a=a\to e={\overline {1}}\Rightarrow \,neutrales\,Element$

$({\overline {8}})^{-1}={\overline {8}}$
$({\overline {1}})^{-1}={\overline {1}}$
$\forall a\in U\exists a^{-1}\in U\mid a\circ a^{-1}=e\Rightarrow inverse\,Elemente\,existieren$

Damit wäre bewiesen, dass $U=\{{\overline {1}},{\overline {8}}\}$ die von ${\overline {8}}$ erzeugte Untergruppe von $\Gamma _{9}$ ist.

Linksnebenklasse: $a\circ U=\{a\circ u\mid u\in U\}$
$L_{1}={\overline {1}}\circ U=\{{\overline {8}},{\overline {1}}\}$
$L_{2}={\overline {2}}\circ U=\{{\overline {7}},{\overline {2}}\}$
$L_{3}={\overline {4}}\circ U=\{{\overline {5}},{\overline {4}}\}$
$L_{4}={\overline {5}}\circ U=\{{\overline {4}},{\overline {5}}\}$
$L_{5}={\overline {7}}\circ U=\{{\overline {2}},{\overline {7}}\}$
$L_{6}={\overline {8}}\circ U=\{{\overline {1}},{\overline {8}}\}$

$L=\{\{{\overline {8}},{\overline {1}}\},\{{\overline {7}},{\overline {2}}\},\{{\overline {5}},{\overline {4}}\}\}$
Da die Restklassenmultiplikation kommutativ ist, folgt: $a\circ U=U\circ a$ und daher ist die Rechtsnebenklasse gleich der Linksnebenklasse. Dies ist außerdem die Begingung dafür, dass eine Untergruppe ein Normalteiler ist. Also gilt:

$U$ ist Normalteiler von $\Gamma _{9}$: $\to U\trianglelefteq \Gamma _{9}$