TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 522

Sei $V=\mathbb {C} ^{3},$

${\begin{aligned}U&=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V\mid z_{1}+z_{2}=z_{3}\},\\W&=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V\mid z_{2}=-z_{1}\}.\end{aligned}}$

Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{1}+x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\-(x_{1}+y_{1})\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U

$\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W

$\left|{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper
• Dimension
• Abgeschlossenheit
• Basis

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 517
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 518