TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 432

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Sei ein Ring, in dem für alle gilt. Man zeige, dass dann auch für alle gilt. (Hinweis: Man betrachte )

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt auflösen lassen.

Da jedes beliebige ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

Voilà!

Anmerkung:

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).

Kürzere Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dies ist nur eine schnellere und aus meiner Sicht einfachere Lösung aus dem Vorgehen in "Lösung".

Kurze Schreibweise:

Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Angabe kann man wie folgt interpretieren:


Wir schreiben nun einfach um:

daraus folgt:


Nun addieren auf beiden Seiten (wir ziehen ab):


Wir haben im vorherigen Schritt bereits beschrieben, dass daraus Folgt was zu zeigen war