TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VO (Dorfer)/Prüfung 2017-09-29

1.) MPC:

a) Definition von injektiv, surjektiv, bijektiv

b) Sätze zu Bäumen und Wäldern (Achtung: waren umgeformt!, $a1(T)-1=a0(T)$)

c) Frage zu Determinanten und was aus ihnen abgelesen werden kann.

d) Tautologie, Kontradiktion, erfüllbar, unerfüllbar. (Jede aussagenlogische Formel ist erfüllbar oder eine Kontradiktion)

2.) Vollständige Induktion: Zuerst Gauß'sche Summenformel beweisen, dann $(1+2+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$ (oder so ähnlich)

3.) Eigenwerte und Eigenvektoren: Zuerst alle Eigenwerte einer 2x2-Matrix berechnen und dann entsprechende Eigenvektoren daraus ableiten. Danach musste noch ein Skalarprodukt der Eigenvektoren berechnet werden, das 0 ergeben sollte.

4.) Kombinatorik: 7 Buchstaben (a,b,c,d,e,f,g), Wörter der Länge 5

a) Wie viele Wörter, wenn jeder Buchstabe beliebig oft vorkommen darf?

b) Wie viele Wörter, wenn jeder Buchstabe höchstens einmal vorkommen darf?

c) Wie viele Wörter, wenn genau ein Buchstabe mehrmals/zweimal (bin mir unsicher) vorkommen darf?

d) ?

5.) Gruppe, Ring, Körper:

a) Definiere: Ring, Integritätsring, Körper.

b) Nenne Beispiele, die Zeigen, dass diese Konzepte unterschiedlich sind.

c) Wie viele Elemente können endliche Körper haben (bezog sich glaube ich auf Primzahlpotenzen)?

d) Wie konstruiert man solche Körper?