TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 245

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Lösen sie die Rekursion aus Beispiel 225) mit Hilfe von erzeugenden Funktionen:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Lösungsvorschlag von Neverlasting[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verfahren läuft sehr ähnlich wie das Beispiel im Buch zur erzeugenden Funktion. Ich hab es auch zuerst mit Partialbruchzerlegung versucht, aber da wir ja (1-3z)^2 im Nenner haben, nützt sie uns leider wenig. Hier meine Lösung (Prof. Winkler hat sie gefallen :)):

Wir wollen die Gleichung auf diese Form bringen. Multipliziere sie deshalb mit z^(n+1) und summiere über alle n:

Benutze nun die Definition von A(z):

Umformen, sodass wir auf eine Gleichung für A(z) kommen:

Nun verwende folgendes Lemma: Betrachte die arithmetische Reihe (0, 1, 2, ...) mit der Gleichung und stelle dafür eine erzeugende Funktion B(z) auf:

Nun wende B(z) an sowie die Formel für die geometrische Reihe.

Wähle C = a0:

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • im Informatik-Forum SS08 Beispiel 254