TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Gruppen Dienstag

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UE1 1 4 9 11 17 18
UE2 20 21 31 37 47 61
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UE4 120 126
UE5 129 135 140 146 151 152 155
UE6 156 160 172 184 190 212
UE7 195 200 203 216 240 246
UE8 252 272 291 294 298 308
UE9 310 315
UE10 325 331 338 339 355 360
UE11 279 362 371 375 378 386
UE12 391 400

Übung 1

Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}.

Beispiel 9

Man zeige, dass die Folge a_n konvergiert, indem man zu beliebigem \epsilon > 0 ein N(\epsilon) angebe.

a_n=\frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}, \quad n \ge 1

Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge  a_{n} konvergiert, indem man zu beliebigem  \epsilon > 0 ein  N(\epsilon) angebe.

 a_{n} = \frac{\ln(n)}{n},\quad n\ge 1

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus  \ln(x) < \frac{x}{2} die Ungleichung  \ln(n) < \sqrt{n} folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Beispiel 17

Seien (a_n)_{n \in \N} und (b_n)_{n \in \N} zwei konvergente Folgen mit \lim_{n \to \infty} a_n = a und \lim_{n \to \infty} b_n = b mit b \neq 0. Man zeige, dass dann gilt \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung b_n \neq 0 für alle n \in \N, die eigentlich für die Existenz der Folge (\frac{a_n}{b_n})_{n \in \N} notwendig ist, keine große Rolle?

Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Beispiel 18

Sei (a_n)_{n \in \N} eine Folge mit \lim_{n \to \infty} a_n = a. Zeigen Sie, dass \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |.

Übung 2

Beispiel 20

Für alle  n\in \mathbb{N} mit  n\geq 1 sei  a_n=1+\frac{1}{n^2}+\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)\left(3-\frac{5}{n}\right) .

  1. Gelten für die Umgebung  U=U_1(3)=(2,4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?
    (a)  a_n\in U für unendlich viele  n .
    (b) Es gibt ein  N=N(\varepsilon) =N(1) mit  a_n\in U für alle n\geq N.
  2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge  \left(a_n\right)_{n\geq1} an.
  3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen  n_1 < n_2 < \dots an, so dass  \left(a_{n_k}\right)k_{\in\mathbb{N}} eine monotone Teilfolge von  \left(a_n\right)_{n\geq1} ist.
  4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von  \left(a_n\right)_{n\geq1}?

Beispiel 21

Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=3, a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1} für alle n\geq0

Beispiel 31

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}

Beispiel 37

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}

Beispiel 47

Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots +\frac{1}{n^2+n}

Beispiel 61

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+2)}

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz passender Ausdrücke dar.)

Übung 3

Beispiel 71

Für n = 1, 2, 3, ... sei

a_n=\frac{1}{n^2}, b_n=\frac{1}{(n+1)*(n+2)}, c_n=\frac{1}{(n+1)}, d_n=\frac{1}{(n+2)}.

Weiters sei A = \sum_{n=1}^\infty a_n, B = \sum_{n=0}^\infty b_n, C = \sum_{n=0}^\infty c_n, D = \sum_{n=0}^\infty d_n.

  1. (a) Berechnen Sie die Partialsummen von B.
  2. (b) Berechnen Sie den Wert von B.
  3. (c) Begründen Sie a_n \le 2b_n. Konvergiert A?
  4. (d) Warum ist B = C - D falsch, obwohl b_n = c_n - d_n?

Beispiel 72

Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n \geq 0} \frac{3\cdot n^2 +1}{5\cdot n^3-2}

Beispiel 86

Sei a_n \geq 0 und die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n^2 konvergiert.

Beispiel 92

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:


\sum \limits_{n \geq 0} \binom{\frac 1 2 }{n} = x^n, |x|<1

Beispiel 100

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen a_n, b_n und c_n bestehen.

a_n=2n, b_n=\frac{n^2}{2}, c_n=\frac{3n^4}{6n^2+1}

Beispiel 115

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. (\sgn(x) = 1 für x > 0, \sgn(x) = -1 für x < 0 und sgn(0) = 0.)

 f(x)=(x - \pi/2) \sgn(\cos x)

Übung 4

Beispiel 120

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}, \quad D_{f}=(1,\infty)

Beispiel 126

Nur teilweise gelöst: Untersuchung auf Differenzierbarkeit fehlt

Man skizziere die Graphen der Funktionen

f_1(x) = \cos x, f_2(x) = \frac{1}{\cos x}, f_3(x) = \cos^2 x, f_4(x) = |\cos x|, f_5(x) = \sqrt{|\cos x|}

im Intervall [0,\pi] und untersuche die Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Übung 5

Beispiel 129

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-5x+2}}

Beispiel 135

Man zeige mittels Differenzieren:

\arctan \, \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + \frac{1}{2} \cdot \arcsin \, x = \frac{\pi}{4} \qquad x \in (-1,1)

Beispiel 140

Man diskutiere die Funktion f(x) = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x} im Intervall I = [-\pi, \pi]\!.

Beispiel 146

Man diskutiere die Funktion f(x)=x^2e^{-x^2} (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte,

Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 151

Sei f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f'(x) \leq 0 für alle x \in \mathbb{R} gilt.

Beispiel 152

Folgt in Beispiel 151 aus der strengen Monotonie sogar f'(x) < 0 für alle x \in \mathbb{R}? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Beispiel 155

Für die Funktion f(x) = x^2 und a < b berechne man eine Stelle c im Intervall [a,b], für die gilt f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen.

Übung 6

Beispiel 156

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x) = \frac{x+1}{x-1}. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Beispiel 160

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f(x) = 8(x + 1)^{3/2} durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x_{0} = 0. Wie groß ist der Fehler an der Stelle x = 0,5

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

Beispiel 172

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \arcsin(x) an der Entwicklungsstelle x_0 = 0.

Beispiel 184

Man berechne die Grenzwerte

  1. (a) lim_{x \to 1} \left(\frac{2}{1-x^2} - \frac{3}{1-x^3}\right)
  2. (b) lim_{x \to \infty} \frac{17x^2 + 4x - 1}{x^3 - 12x^2 + 1}

Beispiel 190

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Form:

\lim_{x \to 1/2} (1 - 2x) \tan {\pi x}

Beispiel 212

Man berechne

\int x\cdot \arcsin x\;dx

Übung 7

Beispiel 195

Für die Funktion f(t) = \begin{cases}-1 \, \, \, (t \leq 1) \\ 1 \, \, \, (t > 1)\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 200

Berechnen sie \int_1^2 x^2 \, dx mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

Beispiel 203

Sei a \geq 0. Berechnen Sie \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a+1}} \sum_{k=1}^n k^a

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 216

Man berechne:


\int \frac {x^2 + 1}
{(x-1)^2 (x+1)^2}dx

Beispiel 240

Man berechne:

\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\right)\,\mathrm dx

Beispiel 246

Man berechne:

\int_0^\infty x \cdot e^{-x} \, dx

Übung 8

Beispiel 252

Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.

\int_0^{\infty} \frac{\vert \sin x \vert}{x^{\frac{3}{2}}} \, dx

Beispiel 272

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n \geq 0} ne^{-n}

Beispiel 291

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

  1. (a) z = x^2 - y^2
  2. (b) z=\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}}

Beispiel 294

Gegeben sei die Polynomfunktion z=f(x,y) = xy^2 - 10x. Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x = x_0 bzw. y = y_0 sowie die Höhenlinien für z=z_0 und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion.

Beispiel 298

Man untersuche für beliebige \alpha, \beta \in \mathbb{R} den Grenzwert \lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t). Ist die Funktion f(x,y) an (0,0) stetig?

f(x,y) = \frac{|y|}{|x|^3 + |y|} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 1

Beispiel 308

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f:\mathbb R^2\to\mathbb R im Punkt (0, 0).

f(x, y)=\begin{cases}
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{fuer } (x, y)\neq(0, 0)\\
0 &\text{fuer } (x, y)=(0, 0)
\end{cases}

Übung 9

Beispiel 310

(a) Für die Funktion f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} berechne man die partiellen Ableitungen f_x, f_y und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x_0,y_0) = (0.2, 0.3).

(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion f(x,y) = x^2\sin y + \cos(x + 2y).

Beispiel 315

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y)=\arctan\left(\frac{4x^2y^2}{1+x+y}\right)

Übung 10

Beispiel 325

Es sei g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = (1-2u^2)e^{-u^2+v^3} und g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = 3uv^2e^{-u^2+v^3}.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) = \frac d {dt}g(t^2 -1, 3t).

Beispiel 331

Gegeben sei die Funktion f : \mathbb R^2 \rarr \mathbb R mit

f(x,y) = \begin{cases}
1 & \text{falls } y - 1 = (x-1)^2 > 0\\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}

Zeigen Sie: f ist an der Stelle (1,1) unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.

Beispiel 338

Für die Funktion f(x,y,z) = x \cos(x - y - z) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 2).

Beispiel 339

Man bestimme \frac{dy}{dx} für folgende implizit gegebene Kurven:

  1. (a) x^{2/3} + y^{2/3} = 1 für x_0 = 0.5
  2. (b) x^3 + y^3 - 2xy = 0 für x_0 = 1

Beispiel 355

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 355

Beispiel 360

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)=(x^2+5y^2)e^{-x^2-y^2} für x,y\in\mathbb R

Übung 11

Beispiel 279

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 279

Beispiel 362

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)= \sin (x+y) + \sin x + \sin y für  0 \le x,y\le \pi/2

Beispiel 371

Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

x^2\frac{d^2y}{dx^2} - 6y = 12\ln x

durch

y(x) = C_1x^3 + \frac{C_2}{x^2} - 2\ln x + \frac{1}{3}, C_1, C_2 \in \mathbb{R}

gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y(1) = \frac{2}{3}, y'(1) = -1 \,?

Beispiel 375

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 375

Beispiel 378

Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung xy' + y = x^2 + 3x + 2.

Beispiel 386

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) y''-8y'-20y=0

(b) y''+8y'+16y=0

(c) y''-8y'+25y=0

Übung 12

Beispiel 391

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'' - y' - 2y = x.

Beispiel 400

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'' + 4y' + 4y = e^{-2x}