TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Gruppen Dienstag

UE1	1	4	9	11	17	18
UE2	20	21	31	37	47	61
UE3	71	72	86	92	100	115
UE4	120	126
UE5	129	135	140	146	151	152	155
UE6	156	160	172	184	190	212
UE7	195	200	203	216	240	246
UE8	252	272	291	294	298	308
UE9	310	315
UE10	325	331	338	339	355	360
UE11	279	362	371	375	378	386
UE12	391	400

Übung 1

Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge ${\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}$ .

Beispiel 9

Man zeige, dass die Folge $a_n$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.

$a_n=\frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}, \quad n \ge 1$

Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.
$a_{n} = \frac{\ln(n)}{n},\quad n\ge 1$
Anleitung: Zeigen Sie, dass aus $\ln(x) < \frac{x}{2}$ die Ungleichung $\ln(n) < \sqrt{n}$ folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Beispiel 17

Seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ mit $b \neq 0$ . Man zeige, dass dann gilt $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$ . Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung $b_n \neq 0$ für alle $n \in \N$ , die eigentlich für die Existenz der Folge $(\frac{a_n}{b_n})_{n \in \N}$ notwendig ist, keine große Rolle?

Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Beispiel 18

Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine Folge mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ . Zeigen Sie, dass $\lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |$ .

Übung 2

Beispiel 20

Für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\geq 1$ sei $a_n=1+\frac{1}{n^2}+\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)\left(3-\frac{5}{n}\right)$ .

Gelten für die Umgebung $U=U_1(3)=(2,4)$ von 3 die folgenden beiden Aussagen?
(a) $a_n\in U$ für unendlich viele $n$ .

(b) Es gibt ein $N=N(\varepsilon) =N(1)$ mit $a_n\in U$ für alle $n\geq N$ .

Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge $\left(a_n\right)_{n\geq1}$ an.

Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen $n_1 < n_2 < \dots$ an, so dass $\left(a_{n_k}\right)k_{\in\mathbb{N}}$ eine monotone Teilfolge von $\left(a_n\right)_{n\geq1}$ ist.

Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\geq1}$ ?

Beispiel 21

Man untersuche die Folge $a_n$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}a_n$ . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n \geq 0$ .

$a_0=3, a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1}$ für alle $n\geq0$

Beispiel 31

Man untersuche die Folge $(a_n)_{n\in \N}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n \in \N$ definiert.)

$a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}$

Beispiel 37

Man untersuche die Folge $(a_n)_{n\in \N}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n \in \N$ definiert.)

$a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Beispiel 47

Man untersuche die Folge $\langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ , $\langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ mit $b_n\leq a_n\leq c_n$ ﬁnde:

$a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots +\frac{1}{n^2+n}$

Beispiel 61

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+2)}$

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz passender Ausdrücke dar.)

Übung 3

Beispiel 71

Für n = 1, 2, 3, ... sei
$a_n=\frac{1}{n^2}, b_n=\frac{1}{(n+1)*(n+2)}, c_n=\frac{1}{(n+1)}, d_n=\frac{1}{(n+2)}$ .
Weiters sei $A = \sum_{n=1}^\infty a_n, B = \sum_{n=0}^\infty b_n, C = \sum_{n=0}^\infty c_n, D = \sum_{n=0}^\infty d_n$ .

(a) Berechnen Sie die Partialsummen von B.
(b) Berechnen Sie den Wert von B.
(c) Begründen Sie $a_n \le 2b_n$ . Konvergiert A?
(d) Warum ist $B = C - D$ falsch, obwohl $b_n = c_n - d_n$ ?

Beispiel 72

Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum_{n \geq 0} \frac{3\cdot n^2 +1}{5\cdot n^3-2}$

Beispiel 86

Sei $a_n \geq 0$ und die Reihe $\Sigma_{n \geq 0} \ a_n$ konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe $\Sigma_{n \geq 0} \ a_n^2$ konvergiert.

Beispiel 92

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits_{n \geq 0} \binom{\frac 1 2 }{n} = x^n, |x|<1$

Beispiel 100

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen $a_n$ , $b_n$ und $c_n$ bestehen.
$a_n=2n$ , $b_n=\frac{n^2}{2}$ , $c_n=\frac{3n^4}{6n^2+1}$

Beispiel 115

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. ( $\sgn(x) = 1$ für $x > 0$ , $\sgn(x) = -1$ für $x < 0$ und $sgn(0) = 0$ .)

$f(x)=(x - \pi/2) \sgn(\cos x)$

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Übung 4

Beispiel 120

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}, \quad D_{f}=(1,\infty)$

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Beispiel 126

Nur teilweise gelöst: Untersuchung auf Differenzierbarkeit fehlt

Man skizziere die Graphen der Funktionen
$f_1(x) = \cos x$ , $f_2(x) = \frac{1}{\cos x}$ , $f_3(x) = \cos^2 x$ , $f_4(x) = |\cos x|$ , $f_5(x) = \sqrt{|\cos x|}$
im Intervall $[0,\pi]$ und untersuche die Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Übung 5

Beispiel 129

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$ :

$f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-5x+2}}$

Beispiel 135

Man zeige mittels Differenzieren:
$\arctan \, \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + \frac{1}{2} \cdot \arcsin \, x = \frac{\pi}{4} \qquad x \in (-1,1)$

Beispiel 140

Man diskutiere die Funktion $f(x) = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x}$ im Intervall $I = [-\pi, \pi]\!$ .

Beispiel 146

Man diskutiere die Funktion $f(x)=x^2e^{-x^2}$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte,
Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 151

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann $f'(x) \leq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Beispiel 152

Folgt in Beispiel 151 aus der strengen Monotonie sogar $f'(x) < 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ ? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Beispiel 155

Für die Funktion $f(x) = x^2$ und $a < b$ berechne man eine Stelle $c$ im Intervall $[a,b]$ , für die gilt $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen.

Übung 6

Beispiel 156

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ . Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Beispiel 160

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion $f(x) = 8(x + 1)^{3/2}$ durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt $x_{0} = 0$ . Wie groß ist der Fehler an der Stelle $x = 0,5$
? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

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Beispiel 172

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $\arcsin(x)$ an der Entwicklungsstelle $x_0 = 0$ .

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Beispiel 184

Man berechne die Grenzwerte
WS19: (ohne Verwendung der Regel von de l'Hospital):

(a) $lim_{x \to 1} \left(\frac{2}{1-x^2} - \frac{3}{1-x^3}\right)$
(b) $lim_{x \to \infty} \frac{17x^2 + 4x - 1}{x^3 - 12x^2 + 1}$
(c) $lim_{x \to 0} \left(\frac{1-cos(x)}{x}\right)$

Beispiel 190

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Form:

$\lim_{x \to 1/2} (1 - 2x) \tan {\pi x}$

Beispiel 212

Man berechne $\int x\cdot \arcsin x\;dx$

Übung 7

Beispiel 195

Für die Funktion $f(t) = \begin{cases}-1 \, \, \, (t \leq 1) \\ 1 \, \, \, (t > 1)\end{cases}$
berechnen Sie $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ . Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 200

Berechnen sie $\int_1^2 x^2 \, dx$ mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

Beispiel 203

Sei $a \geq 0$ . Berechnen Sie $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a+1}} \sum_{k=1}^n k^a$
durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 216

Man berechne:

$\int \frac {x^2 + 1} {(x-1)^2 (x+1)^2}dx$

Beispiel 240

Man berechne:

$\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\right)\,\mathrm dx$

Beispiel 246

Man berechne:
$\int_0^\infty x \cdot e^{-x} \, dx$

Übung 8

Beispiel 252

Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.

$\int_0^{\infty} \frac{\vert \sin x \vert}{x^{\frac{3}{2}}} \, dx$

Beispiel 272

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

$\sum_{n \geq 0} ne^{-n}$

Beispiel 291

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

(a) $z = x^2 - y^2$
(b) $z=\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}}$

Beispiel 294

Gegeben sei die Polynomfunktion $z=f(x,y) = xy^2 - 10x$ . Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen $x = x_0$ bzw. $y = y_0$ sowie die Höhenlinien für $z=z_0$ und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion.

Beispiel 298

Man untersuche für beliebige $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ den Grenzwert $\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t)$ . Ist die Funktion $f(x,y)$ an $(0,0)$ stetig?
$f(x,y) = \frac{|y|}{|x|^3 + |y|} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 1$

Beispiel 308

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ im Punkt (0, 0).
$f(x, y)=\begin{cases} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{fuer } (x, y)\neq(0, 0)\\ 0 &\text{fuer } (x, y)=(0, 0) \end{cases}$

Übung 9

Beispiel 310

(a) Für die Funktion $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ berechne man die partiellen Ableitungen $f_x$ , $f_y$ und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle $(x_0,y_0) = (0.2, 0.3)$ .
(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion $f(x,y) = x^2\sin y + \cos(x + 2y)$ .

Beispiel 315

Man bestimme die partiellen Ableitungen:
$f(x,y)=\arctan\left(\frac{4x^2y^2}{1+x+y}\right)$

Übung 10

Beispiel 325

Es sei $g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = (1-2u^2)e^{-u^2+v^3}$ und $g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = 3uv^2e^{-u^2+v^3}$ .
Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel $h(t) = \frac d {dt}g(t^2 -1, 3t)$ .

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Beispiel 331

Gegeben sei die Funktion $f : \mathbb R^2 \rarr \mathbb R$ mit
$f(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{falls } y - 1 = (x-1)^2 > 0\\ 0 & \text{sonst}. \end{cases}$
Zeigen Sie: $f$ ist an der Stelle $(1,1)$ unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.

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Beispiel 338

Für die Funktion $f(x,y,z) = x \cos(x - y - z)$ berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 2)$ .

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Beispiel 339

Man bestimme $\frac{dy}{dx}$ für folgende implizit gegebene Kurven:

(a) $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ für $x_0 = 0.5$
(b) $x^3 + y^3 - 2xy = 0$ für $x_0 = 1$

Beispiel 355

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 355

Beispiel 360

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:
$f(x,y)=(x^2+5y^2)e^{-x^2-y^2}$ für $x,y\in\mathbb R$

Übung 11

Beispiel 279

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 279

Beispiel 362

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x, y)$ im angegebenen Bereich:
$f(x,y)= \sin (x+y) + \sin x + \sin y$ für $0 \le x,y\le \pi/2$

Beispiel 371

Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$x^2\frac{d^2y}{dx^2} - 6y = 12\ln x$
durch
$y(x) = C_1x^3 + \frac{C_2}{x^2} - 2\ln x + \frac{1}{3}$ , $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$
gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen $y(1) = \frac{2}{3}$ , $y'(1) = -1 \,$ ?