TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Gruppen Donnerstag

UE1		1	4	9	11	17	18
UE2		20	27	35	45	54	65
UE3		69	81	91	95	107	108	118
UE4		124	128
UE5		134	137	139	142	149	153	154
UE6		158	164	176	186	194	219
UE7		197	202	206	217	244	248
UE8		258	276	293	296	300	304
UE9		309	317
UE10		324	329	334	340	353	359
UE11		287	364	373	380	381	388
UE12		399	416

Übung 1

Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge ${\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}$.

Beispiel 9

Man zeige, dass die Folge $a_n$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.

$a_n=\frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}, \quad n \ge 1$

Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.

$a_{n} = \frac{\ln(n)}{n},\quad n\ge 1$

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus $\ln(x) < \frac{x}{2}$ die Ungleichung $\ln(n) < \sqrt{n}$ folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Beispiel 17

Seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ mit $b \neq 0$. Man zeige, dass dann gilt $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung $b_n \neq 0$ für alle $n \in \N$, die eigentlich für die Existenz der Folge $(\frac{a_n}{b_n})_{n \in \N}$ notwendig ist, keine große Rolle?

Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Beispiel 18

Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine Folge mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$. Zeigen Sie, dass $\lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |$.

Übung 2

Beispiel 20

Für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\geq 1$ sei $a_n=1+\frac{1}{n^2}+\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)\left(3-\frac{5}{n}\right)$.

1. Gelten für die Umgebung $U=U_1(3)=(2,4)$ von 3 die folgenden beiden Aussagen?

   (a) $a_n\in U$ für unendlich viele $n$.

   (b) Es gibt ein $N=N(\varepsilon) =N(1)$ mit $a_n\in U$ für alle $n\geq N$.

2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge $\left(a_n\right)_{n\geq1}$ an.
3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen $n_1 < n_2 < \dots$ an, so dass $\left(a_{n_k}\right)k_{\in\mathbb{N}}$ eine monotone Teilfolge von $\left(a_n\right)_{n\geq1}$ ist.
4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\geq1}$?

Beispiel 27

Man untersuche die Folge $a_n$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}a_n$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n \geq 0$.

$a_0=1/2,a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} \qquad \forall n\geq0$

Beispiel 35

Man untersuche die Folge $(a_n)_{n\in \N}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n \in \N$ definiert.)

$a_n=\frac{2n^2-5n^{\frac{9}{4}}+7}{7n^3+2n^{-\frac{3}{2}}+1}$

Beispiel 45

Man untersuche die Folge $\left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_{n}=\sqrt[n^2]{n^5+1}$

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n] n=1$.

Beispiel 54

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

$a_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}, \quad n \ge 1$,

für $n \rarr \infty$.

Beispiel 65

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum (-1)^n \frac{2n+1}{n(n+1)}$

Übung 3

Beispiel 69

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

$\sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\cos\frac{n \pi}{3}}{2^n}}$

Beispiel 81

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}$

Beispiel 91

Es sei $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Man bestimme den Grenzwert der Reihe $\sum_{n \ge 0}(-1)^n\left( a_{n+1} + a_n \right)$.

Beispiel 95

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits_{n\geq 0} \frac{z^{2n}}{(2n)!},\quad z \in \C$

Beispiel 107

Bestimmen Sie die Größenordnungen von

1. (a) $2{,}7n^2-0{,}5n+1$
2. (b) $0{,}35\cdot 2^n+5n^5$
3. (c) $\sqrt{1+1{,}1\,n^2}$

Beispiel 108

Zeigen Sie:

(a) $a_n = O(1) \Longleftrightarrow (a_n)$ ist beschränkt.

(b) $a_n = o(1) \Longleftrightarrow (a_n)$ ist eine Nullfolge.

Beispiel 118

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. ($\sgn(x) = 1$ für $x > 0$, $\sgn(x) = -1$ für $x < 0$ und $\sgn(0) = 0$.)

$f(x)=x \sin (\tfrac \pi 3 \sgn(x))$

Übung 4

Beispiel 124

Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:

$f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R$

Beispiel 128

Man zeige, dass es zu jeder Funktion $f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ wenigstens ein $x_{0} \in [a,b]$ mit $f(x_{0})= x_{0}$ gibt.

Übung 5

Beispiel 134

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$:

$f(x) = \arctan \left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)$

Beispiel 137

Zeigen Sie: Sind $g_1(x), \ldots, g_m(x)$ differenzierbar und $g_j(x) \ne 0$ für alle j, so gilt

$\frac{(\prod_{j=1}^{m} g_j(x)) '}{ \prod_{j=1}^{m} g_j(x) } = \sum_{j=1}^{m} \frac{g_j'(x)} {g_j(x)}$

Beispiel 139

Wie ist $t$ zu wählen, damit die Funktion $f(x)= (x^2+t)/(x-t)$ in einer Umgebung der Stelle $x_0 = 1$ streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.

Beispiel 142

Man diskutiere die Funktion $f(x) = \sin x - \cos x$ im Intervall $I = [0, 2\pi]$.

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Beispiel 149

Man diskutiere die Funktion $f(x)=xe^{-x^2}$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

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Beispiel 153

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ monoton wachsend und differenzierbar. Man zeige, dass dann $f'(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Beispiel 154

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ monoton wachsend und differenzierbar. Es gilt $f'(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

Folgt aus der strengen Monotonie sogar $f'(x) > 0$ für alle $x \in \R$? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Übung 6

Beispiel 158

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der folgenden Funktion. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach Restklasse von $n \;\bmod\; 4$)?

$f(x) = e^{-x} \cos x$

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Beispiel 164

Sei $T_n(x)$ das $n$-te Taylorpolynom der Funktion $f(x) = e^x$ mit Entwicklungspunkt $x_0 = 0$. Durch Untersuchung des Restglieds $R_n(x)$ in Lagrangescher Form bei dieser Taylorentwicklung gebe man an, wie groß $n$ sein muss, damit an der Stelle $x = 0{,}1$ der Unterschied zwischen $T_n(x)$ und $e^x$ kleiner als $10^{-10}$ ist.

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Beispiel 176

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x) = (1 - x^2) \cos x$ an der Stelle $x_0 = 0$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 186

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\lim_{x \to 1-} \ln(1-x)\cdot \ln(x)(x)$
2. (b) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{e^{4x}}$

Beispiel 194

Man bestimme den Grenzwert

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x \end{align}$

Beispiel 219

Man berechne:

$\int x^2 \mathrm{cos} \ x \ dx$

Übung 7

Beispiel 197

Für die Funktion $f(t) = \begin{cases} -1 & (t \leq 1) \\ t & (t > 1) \end{cases}$

berechnen Sie $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 202

Berechnen Sie $\int_1^2 x^3dx$ mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.

Hinweise:

1. (i) Äquidistante Teilung des Intervalls $[a,b]$ bedeuted, dass man die Teilungspunkte $x_k = a + (b-a)k/n,\ k=0,1,\dots,n$, betrachtet.
2. (ii) $\sum\nolimits_{k=1}^n k=\binom{n+1}{2}$
3. (iii) $\sum\nolimits_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
4. (iv) $\sum\nolimits_{k=1}^n k^3=\binom{n+1}{2}^2$

Beispiel 206

Berechnen Sie

$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=1}^n \frac 1 {n^2 + k^2}$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 217

Man berechne:

$\int \frac {x^3 - x^2 + 2} {x^3 - 3x + 2}dx$

Beispiel 244

Man berechne:

$\int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx$

Beispiel 248

Man berechne:

$\int_1^\infty \ln\left(1+\frac 1 x\right) \;dx$

Übung 8

Beispiel 258

Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz.

$\int\limits_0^\infty \frac {x+3} {2x^2 + 3x + 2} \,dx$

Beispiel 276

Unersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

$\sum_{n\geq 1}\left(1 + \frac 1 n\right)$

Beispiel 293

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

1. (a) $z = x^2 + y$
2. (b) $z=\frac x {y^2}$

Beispiel 296

Eine Funktion $f(x_1,...,x_n)$ heißt homogen vom Grad $r$, falls für jedes feste $\lambda > 0$ und alle $(x_1,...,x_n)$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_1,...,\lambda x_n) = \lambda^r f(x_1,...,x_n)$.

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen

(a) $f(x,y) = c x^\alpha y^{1-\alpha}$ und (b) $g(x,y) = (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}$

($x$ Arbeit, $y$ Kapital, $c,d,\alpha$ konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad $r=1$ sind.

Beispiel 300

Sei $f(x,y) = \frac{x\cos\frac{1}{x}+y\sin y}{2x-y}$ für $0 \ne x\ne 2y$.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte $\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y)$ und $\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $\lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)}f(x,y)$ ?

Beispiel 304

Man untersuche die Funktion $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ auf Stetigkeit. (Hinweis: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ für $a,b \geq 0$):

$f(x,y) = \frac{xy}{|x| + |y|} \qquad \qquad \text{für } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0$

Übung 9

Beispiel 309

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ im Punkt (0, 0).

$f(x, y)=\begin{cases} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} &\text{für } (x, y)\neq(0, 0)\\ 0 &\text{für } (x, y)=(0, 0) \end{cases}$

Beispiel 317

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y)=\arctan\left(\frac{2x^3y}{y-x^3}\right)$

Übung 10

Beispiel 324

Es sei $g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = \frac{1+\tan(u)^2}{v+\tan(u)}$ und $g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = (v + \tan(u))^{-1}$.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel $h(t) = \frac d {dt}g(2t,t^2 + 1)$.

Beispiel 329

Man berechne die Ableitung von $f (x, y) = x^ 2 + 4y^ 2$ im Punkt $P_0 (3, 2)$

1. (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
2. (b) in Richtung von (−1, −1), sowie
3. (c) in Richtung von grad f.

Beispiel 334

Man berechne das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung der Funktion $f(x,y) = x \ln(1 + xy)$ an der Stelle $(x_0, y_0) = (1,0)$

Beispiel 340

Es sei $F(x,y) = e^x \sin y+e^y \sin x-1 = 0$. Man berechne $\frac{dy}{dx}$ und $\frac{d^2y}{dx^2}$ im Punkt $(\pi/2,0)$.

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Beispiel 353

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -7 \\ 1 & -7 & -20 \end{pmatrix}$

Beispiel 359

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y+1$ für $x,y\in\mathbb R$

Übung 11

Beispiel 287

Man zeige, dass eine Menge $O \subseteq \R^2$ bzgl. der Euklidischen Metrik $d_2$ offen ist genau dann, wenn $O$ offen ist bzgl. der Summen-Metrik $d_1$.

Beispiel 364

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x, y)$ im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegeben Bereich.

$f(x,y)= \sin(x+y) + \sin x - \sin y$ für $0 \le x,y\le \pi/2$

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

Beispiel 373

Man ermittle das Richtungsfeld der Differentialgleichung $y' = \frac{y}{x}$ und überlege, ob es durch jeden Punkt der (x,y)-Ebene genau eine Lösung der Gleichung gibt.

Beispiel 380

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y'=y\sin(x) \,$

Beispiel 381

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y-xy'+1=0 \,$

Beispiel 388

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y''-12y'+36y=0 \,$

(b) $y''+12y'+60y=0 \,$

(c) $y''-12y'+25y=0 \,$

Übung 12

Beispiel 399

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

$y'' + 7y' + 6y = \cosh(x)$

Beispiel 416

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung: $x^2y''+ xy' - 3y = 5x^2\,$.

Ansatz für $y_h(x): y = x^r\,$. Zur Bestimmung von $y_p(x)$ versuchen Sie die Standardansätze.

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