TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Gruppen Mittwoch

UE1		1	4	9	11	17	18
UE2		24	29	33	40	49	63
UE3		70	75	89	93	103	116
UE4		121	127
UE5		126	130	136	145	147	151	152
UE6		157	163	175	185	191	211
UE7		198	201	205	215	237	247
UE8		256	273
UE9		292	295	299	309	311	314
UE10		323	328	332	344	351	357
UE11		281	363	372	377	379	387
UE12		398	415

Übung 1

Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge ${\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}$.

Beispiel 9

Man zeige, dass die Folge $a_n$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.

$a_n=\frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}, \quad n \ge 1$

Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon > 0$ ein $N(\epsilon)$ angebe.

$a_{n} = \frac{\ln(n)}{n},\quad n\ge 1$

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus $\ln(x) < \frac{x}{2}$ die Ungleichung $\ln(n) < \sqrt{n}$ folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Beispiel 17

Seien $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in \N}$ zwei konvergente Folgen mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ mit $b \neq 0$. Man zeige, dass dann gilt $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung $b_n \neq 0$ für alle $n \in \N$, die eigentlich für die Existenz der Folge $(\frac{a_n}{b_n})_{n \in \N}$ notwendig ist, keine große Rolle?

Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Beispiel 18

Sei $(a_n)_{n \in \N}$ eine Folge mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$. Zeigen Sie, dass $\lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |$.

Übung 2

Beispiel 24

Man untersuche die Folge $a_n$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}a_n$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n \geq 0$.

$a_0=2,a_{n+1}=\sqrt{4 \cdot \sqrt {a_n} - 3} \qquad \forall n\geq0$

Hinweis: $x^4 + 6x^2 -16x + 9 = (x - 1)^2 (x^2+2x+9)$.

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Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Beispiel 29

Sei $0 < a_0 < c$ und $(a_n)n\in \mathbb N$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit $a_{n+1} = \sqrt{a_n c}$

(a) Zeigen Sie, dass aus $0 < a < c$ stets $a < \sqrt{ac} < c$ folgt.

(b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass $0 < a_n < c$ für alle $n \in \mathbb N$.

(c) Zeigen die $a_n$ irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?

(d) Untersuchen Sie die $a_n$ hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Beispiel 33

Man untersuche die Folge $(a_n)_{n\in \N}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n \in \N$ definiert.)

$a_n=\frac{3n^2-5n+7}{3n^3-5n+7}$

Beispiel 40

Man untersuche die Folge $\left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_{n}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}$

Beispiel 49

Man untersuche die Folge $\langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $\langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$, $\langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}$ mit $b_n\leq a_n\leq c_n$ finde:

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

Beispiel 63

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}$

Übung 3

Beispiel 70

Es gilt $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Man folgere daraus

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$.

Beispiel 75

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum_{n\ge1}\frac{n!}{n^n}$

Beispiel 89

Es sei $\lim_{n \to \infty} a_n = a$. Man bestimme den Grenzwert der Reihe $\sum_{n \ge 0}\left( a_{n+1} - a_n \right)$.

Beispiel 93

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits_{n \geq 0} \binom{2n} n x^n, \quad |x| < \frac 1 4$

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Beispiel 103

Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahlen der Kombinationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes $k$ und $n \to \infty$:

$\binom{n+k-1}{k} \sim \frac{n^k}{k!}$

Beispiel 116

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist.

$f(x)=(x^2-1)\sgn(\sin(\pi x))$

Übung 4

Beispiel 121

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$g(x)=(1+\sqrt{x})^7$

Beispiel 127

Sei $f: [0,a] \rightarrow \mathbb R$ stetig, $f(0) = 0$, $f(a) > a$ und $f(x) \ne x$ für $0 < x < a$. Man zeige, dass dann auch $f(x) > x$ für $0 < x < a$ gilt.

Übung 5

Beispiel 126

Nur teilweise gelöst: Untersuchung auf Differenzierbarkeit fehlt

Man skizziere die Graphen der Funktionen

$f_1(x) = \cos x$, $f_2(x) = \frac{1}{\cos x}$, $f_3(x) = \cos^2 x$, $f_4(x) = |\cos x|$, $f_5(x) = \sqrt{|\cos x|}$

im Intervall $[0,\pi]$ und untersuche die Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Beispiel 130

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$:

$f(x) = \arcsin(\sqrt[3]{x^2-2})$

Beispiel 136

Man zeige mittels Differenzieren:

$Arcsin \, x = Arctan \, (\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}) \qquad x \in (-1,1)$

Beispiel 145

Man diskutiere die folgende Funktion (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

$f(x)=\cos x + (\cos x)^2$

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Beispiel 147

Man diskutiere die Funktion $f(x) = e^{-x^2}$ (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem- werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 151

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann $f'(x) \leq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Beispiel 152

Folgt in Beispiel 151 aus der strengen Monotonie sogar $f'(x) < 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Übung 6

Beispiel 157

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der folgenden Funktion. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach Restklasse von $n \;\bmod\; 4$)?

$f(x) = e^x \sin x$

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Beispiel 163

Sei $T_n(x)$ das $n$-te Taylorpolynom der Funktion $f(x) = e^x$ mit Entwicklungspunkt $x_0 = 0$. Durch Untersuchung des Restglieds $R_n(x)$ in Lagrangescher Form bei dieser Taylorentwicklung gebe man an, wie groß $n$ sein muss, damit an der Stelle $x = 0{,}1$ der Unterschied zwischen $T_n(x)$ und $e^x$ kleiner als $10^{-9}$ ist.

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Beispiel 175

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x) = (x^2 + 1) \sin x$ an der Stelle $x_0 = 0$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

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Beispiel 185

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}$
2. (b) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\ln(x)}$

Beispiel 191

Man berechne den Grenzwert

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x^2)}{x \sin x}$

Beispiel 211

Sei $I_n(x) := \int (1+x^2)^{-n} dx \quad (n = 1,2,3\ldots)$. Durch partielle Integration zeige man die Rekursion
$\begin{align} I_{n+1}(x) = \frac{2n-1}{2n} \cdot I_n(x) + \frac{1}{2n} \cdot \frac{x}{ (1+x^2)^n} \end{align}$

Mit Hilfe dieser Formel berechne man $I_3(x)$ (beachte $I_1(x) = \arctan(x) + C$).

Übung 7

Beispiel 198

Für die Funktion $f(t) = \begin{cases} -t^2 & (t \leq 2)\\ t^2 & (t > 2) \end{cases}$

berechnen Sie $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

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Beispiel 201

Berechnen Sie $\int_2^3 x^2 \, dx$ mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung. (Hinweis: $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n +1)}{6}, \, \sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot (n+1)}{2}$).

Beispiel 205

Berechnen Sie $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^{2}-k^{2}}$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 215

Man berechne:

$\int \frac{x^3 + x^2 + 7}{x^2 + 5x + 6} \, dx$

Beispiel 237

Man berechne:

$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} sin^2(x) + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$

Beispiel 247

Man berechne

$\int_0^\infty x\cdot e^{-x^2}\;dx$

Übung 8

Beispiel 256

Man berechne:

$\int\limits_1^\infty \frac {\ln{x}} {x^2} dx$

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Beispiel 273

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum_{n \ge 0} ne^{-n^2}$

Übung 9

Beispiel 292

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

1. (a) $z = xy$
2. (b) $z=\frac{x}{y}$

Beispiel 299

Man untersuche für beliebige $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ den Grenzwert $\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t)$. Ist die Funktion $f(x,y)$ an $(0,0)$ stetig?

$f(x,y) = \frac{2y^2}{|x| + y^2} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0$

Beispiel 309

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ im Punkt (0, 0).

$f(x, y)=\begin{cases} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} &\text{für } (x, y)\neq(0, 0)\\ 0 &\text{für } (x, y)=(0, 0) \end{cases}$

Beispiel 311

Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ für die folgenden Funktionen übereinstimmen:

1. (a) $f(x,y) = \frac{x^2}{1 + y^2}$
2. (b) $f(x,y) = x^3e^{y^2}$
3. (c) $f(x,y) = \sqrt{xy^3}$

Beispiel 314

Das elektrostatische Potential einer Punktladung $Q$ im Koordinatenursprung ist durch

$\varphi_1(x,y,z) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment $\vec{p} = (p,0,0)$ gilt:

$\varphi_2(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{px}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

(Dabei sind $Q$, $p$ und $\varepsilon_0$ Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektrische Feld $\vec{E}$ nach der

Formel $\vec{E} = -grad \, \, \varphi$.

Übung 10

Beispiel 323

Durch $z = \frac{xy}{x+y}$ ist eine Fläche in $\mathbb{R}^3$ gegeben. Die Beschränkung von $x$ und $y$ auf die Werte $x = e^{t}$ und $y = e^{-t}$ ($t \in \mathbb R$) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme $\frac{dz}{dt}$ mit der Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst $x$ und $y$ in $z$ einsetzt und anschließend nach dem Parameter $t$ differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

Beispiel 328

Man bestimme die Ableitung der Funktion $f(x,y)$ in Richtung $\frac{\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}}{\left\Vert\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\right\Vert}$ im Punkt $(3,2)$ mit

1. (a) $f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}$,
2. (b) $f(x,y)= x^3e^{y^2}$,
3. (c) $f(x,y)= \sqrt{xy^3}$.

Beispiel 332

Man bestimme die lineare und quadratische Approximation der Funktion

$f(x,y) = x^2(y-1) + xe^{y^2}$

im Entwicklungspunkt $(1,0)$.

Beispiel 344

In welchen Punkten der Kurve $x^2+4xy+16y^2=27$ sind die Tangenten horizontal, in welchen vertikal?

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Beispiel 351

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 14 \end{pmatrix}$

Beispiel 357

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x, y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$ für $x,y\in\mathbb R$

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

Übung 11

Beispiel 377

Man löse die homogene lineare Differentialgleichung $y' - y\tan x = 0$.

Beispiel 379

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y' + y\cos x = \sin x \cos x$ zur Anfangsbedingung $y(0) = 1$.

Beispiel 387

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $\ y'' - 6y' - 27y = 0$

(b) $\ y'' + 6y' + 9y = 0$

(c) $\ y'' - 6y' + 25y = 0$

Übung 12

Beispiel 398

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y'' - y = 4e^x$

Beispiel 415

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung: $x^2y'' - xy' - 3y = x\,$.

Ansatz für $y_h(x): y = x^r\,$. Zur Bestimmung von $y_p(x)$ versuchen Sie die Standardansätze.

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