TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 11

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Man zeige, dass die Folge konvergiert, indem man zu beliebigem ein angebe.

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus die Ungleichung folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

EDIT: Regel von l Hospital darf nur bei Funktionen genutzt werden. Daher hat diese Regel beim Brechnen von Grenzwerten von Folgen nichts zu suchen!

Regel_von_l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen und in einer Umgebung von

  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,

so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man setzt. Dann gilt:

Grenzwert mit Hospital[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grenzwert von: ist nicht ganz so leicht zu berechnen, da sowohl die obere Teilfunktion als auch die untere gegen streben.

Das heißt hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.

Praktischer Weise ist unser Fall im Buch "Mathematik für Informatik" bereits angeführt. (Auflage 3, Seite 203, Beispiel 5.36 (Anwendung der Regel von de l'Hospital), Punkt (d) )

Durch dieses Beispiel, wissen wir dass der Logarithmus für schwächer wächst als jede positive Potenz von x.

N Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dadurch gilt:

Jetzt weiter wie Beispiel 9 und 10 (SS14)

Nachdem

1) multipliziere mit

2) dividiere durch

3) potentiere mit 2

Lösung: