TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 209

Für die Funktion $f(t)=\{\begin{array}{cc}-1& (t\le 1)\\ t& (t>1)\end{array}$

berechnen Sie $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

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Hilfreiches

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ ist stetig an der Stelle $x_0$, wenn $f(x)\approx f(x_0)$ für alle $x=x_0\pm ϵ$ gilt, und $ϵ$ hinreichend klein ist. (Definition 4.84)

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an $x_0$ von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

$f(x_0)=\underset{x\to x_0-}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0+}{lim}f(x)$

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt $x_0$, wenn

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ sowohl von links, als auch von rechts, existiert. (Definition 5.1)

Lösungsansatz von gitti

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

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