TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 121

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei die Menge alle natürlichen Zahlen, die 70 teilen. Man vergleiche die Hassediagramme der beiden Halbordnungen und .

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)


Lösung für :

Die Potenzmenge der Menge {a,b,c}, also .

Das Hasse-Diagramm sieht daher wie folgt aus:

Hasse-Diagramm zu Bsp. 94 a

Das bedeutet: , , , etc.

Lösung für :

Die Menge bezeichnet die Menge aller Teiler von 70. Alle Zahlen sind durch 1 und durch sich selbst teilbar. Nicht-Primzahlen wie 70 sind zusätzlich noch durch ihre Primfaktoren (in diesem Fall 2, 5 und 7) und durch die Kombinationen dieser Primfaktoren (, , ) teilbar. Daher ist

Das Hasse-Diagramm dazu:

Hasse-Diagramm zu Bsp. 94 b

(Von Deez):

Das bedeutet: , , , , etc.

Die Ähnlichkeit sehe ich wie folgt: Setzt man die Mengen wie folgt {1,2,5,7} {0,a,b,c} und sieht das als 1 = 0 (leere menge) 2 = a 5 = b 7 = c

und damit löst sich das gesamten Hasse Diagramme ineinander auf: 70 = {a,b,c} = 2 * 5 * 7 14 = 2*7 = {a,c}

Das heißt < P(2,5,7), *> (ich hoff ich hab das formal richtig definiert) deckt sich mit der Definition von < P(a,b,c), <= ) und 2,5,7 entspricht genau den Primfaktoren von 70!

Nachsatz von Mnemetz : Es handelt sich um einen Isomorphismus!