TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 253
Man zeige, daß die von erzeugte Untergruppe von ein Normalteiler von ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe .
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe .
Es gilt:
In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler, somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden.
Interpretationsvorschlag von Vater Gans[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da die Addition von Restklassen kommutativ ist, bildet eine abelsche Gruppe, bei welcher jede Untergruppe einen Normalteiler darstellt.
Lösung von Hochi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man zeige, dass die von 3 erzeugte Untergruppe U von <Z12, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z12 / U.
U = {0, 3, 6, 9}
U ist Normalteiler, weil <Z12, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.
Nebenklassen:
a := 0 + U = 3 + U = 6 + U = 9 + U = {0, 3, 6, 9 }
b := 1 + U = 4 + U = 7 + U = 10 + U = {1, 4, 7, 10}
c := 2 + U = 5 + U = 8 + U = 11 + U = {2, 5, 8, 11}
Verknüpfungstafel:
a = neutrales Element
b ist zu c invers
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Ähnliche Beispiele: