TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 27

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {6}}$ irrational ist!

• Behauptung: ${\sqrt {6}}\notin \mathbb {Q}$
• Beweis:

angenommen ${\sqrt {6}}={\frac {p}{q}}\notin \mathbb {Q}$, wobei $p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$6={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$6q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow p=6r$

$(6r)^{2}=6q^{2}$

$36r^{2}=6q^{2}$

$6r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 6 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 6 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - abgewandelte Aufgabenstellung - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005