TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 27

Zeigen Sie, dass $\sqrt{6}$ irrational ist!

• Behauptung: $\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{6}=\frac{p}{q}\notin \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$6=\frac{p^2}{q^2}$

$6q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow p=6r$

$(6r{)}^2=6q^2$

$36r^2=6q^2$

$6r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 6 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 6 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 6 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - abgewandelte Aufgabenstellung - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005