TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 280

Angabe

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=\mathbb{Q}[\sqrt{5}]=\{a+b\ast \sqrt{5}|a,b\in \mathbb{Q}\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $ℝ$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{5})+(y+z\ast \sqrt{5})=(w+y)+(x+z)\ast \sqrt{5}$

w + y $\in \mathbb{Q}$, x + z $\in \mathbb{Q}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

$\begin{array}{cc}a\circ (b\circ c)& =(a\circ b)\circ c\\ \end{array}$

• $a=(u+v\ast \sqrt{5})$
• $b=(w+x\ast \sqrt{5})$
• $c=(y+z\ast \sqrt{5})$

$\begin{array}{cc}(u+v\ast \sqrt{5})+((w+x\ast \sqrt{5})+(y+z\ast \sqrt{5}))& =((u+v\ast \sqrt{5}+(w+x\ast \sqrt{5}))+(y+z\ast \sqrt{5})\\ (u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{5}& =(u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{5}\end{array}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0\ast \sqrt{5}=0$

Inverses Element

$(x+y\ast \sqrt{5}{)}^{\prime }=(-x)+(-y)\ast \sqrt{5}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{5})\ast (y+z\ast \sqrt{5})=w\ast y+w\ast z\ast \sqrt{5}+y\ast x\ast \sqrt{5}+5\ast x\ast z=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast y+5\ast x\ast z)}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast z+y\ast x)\ast \sqrt{5})}}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0\ast \sqrt{5}$

Inverses Element

$\begin{array}{cc}(x+y\ast \sqrt{5})\ast (x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{5})& =1+0\ast \sqrt{5}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{5}& =\frac{1+0\ast \sqrt{5}}{x+y\ast \sqrt{5}}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{5}& =\frac{(1+0\ast \sqrt{5})\ast (x-y\ast \sqrt{5})}{x^2-5\ast y^2}\\ \end{array}$

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =5\ast y^2\\ y& =\pm \sqrt{5}-y\\ \end{array}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $⟨M,+,\ast ⟩$ vor.

Webressourcen

• f.thread:30559&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
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