TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 280

Angabe

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{a+b*{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Q} \}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}})=(w+y)+(x+z)*{\sqrt {5}}$

w + y $\in \mathbb {Q}$, x + z $\in \mathbb {Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

${\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\\end{aligned}}$

• $a=(u+v*{\sqrt {5}})$
• $b=(w+x*{\sqrt {5}})$
• $c=(y+z*{\sqrt {5}})$

${\begin{aligned}(u+v*{\sqrt {5}})+((w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}}))&=((u+v*{\sqrt {5}}+(w+x*{\sqrt {5}}))+(y+z*{\sqrt {5}})\\(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}&=(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}\end{aligned}}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0*{\sqrt {5}}=0$

Inverses Element

$(x+y*{\sqrt {5}})'=(-x)+(-y)*{\sqrt {5}}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})*(y+z*{\sqrt {5}})=w*y+w*z*{\sqrt {5}}+y*x*{\sqrt {5}}+5*x*z=\underbrace {(w*y+5*x*z)} _{\in \mathbb {Q} }+\underbrace {(w*z+y*x)*{\sqrt {5}})} _{\in \mathbb {Q} }$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0*{\sqrt {5}}$

Inverses Element

${\begin{aligned}(x+y*{\sqrt {5}})*(x'+y'*{\sqrt {5}})&=1+0*{\sqrt {5}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {1+0*{\sqrt {5}}}{x+y*{\sqrt {5}}}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {(1+0*{\sqrt {5}})*(x-y*{\sqrt {5}})}{x^{2}-5*y^{2}}}\\\end{aligned}}$

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

${\begin{aligned}x^{2}&=5*y^{2}\\y&=\pm {\sqrt {5}}-y\\\end{aligned}}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M,+,*\rangle$ vor.

Webressourcen

• f.thread:30559&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
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