TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in einer Variablen 14

Angabe

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion $f(x)={\frac {x+1}{x-1}}$. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Lösungsvorschlag von mdk

Man verwende die Ableitungsregel $({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}$.

Die erste Ableitung der o.g. Funktion ist daher:

${\frac {1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}}$, was sich zu ${\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}}$ und in weiterer Folge zu ${\frac {-2}{(x-1)^{2}}}$ vereinfacht.

Die zweite Ableitung (also die erste Ableitung der ersten Ableitung):

$({\frac {-2}{(x-1)^{2}}})'={\frac {0\cdot (x-1)^{2}-(-2)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^{4}}}={\frac {-(-2)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^{4}}}={\frac {4(x-1)}{(x-1)^{4}}}={\frac {4}{(x-1)^{3}}}$.

Die dritte Ableitung ist analog ${\frac {-12}{(x-1)^{4}}}$, die vierte ${\frac {48}{(x-1)^{5}}}$.

Daher gilt für die n'te Ableitung: $x^{(n)}=(-1)^{n}{\frac {2n!}{(x-1)^{(n+1)}}}$.

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 45