TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in einer Variablen 14

Angabe

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Lösungsvorschlag von mdk

Man verwende die Ableitungsregel $(\frac{f(x)}{g(x)}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$.

Die erste Ableitung der o.g. Funktion ist daher:

$\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}$, was sich zu $\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}$ und in weiterer Folge zu $\frac{-2}{(x-1{)}^2}$ vereinfacht.

Die zweite Ableitung (also die erste Ableitung der ersten Ableitung):

$(\frac{-2}{(x-1{)}^2}{)}^{\prime }=\frac{0\cdot (x-1{)}^2-(-2)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{-(-2)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{4(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{4}{(x-1{)}^3}$.

Die dritte Ableitung ist analog $\frac{-12}{(x-1{)}^4}$, die vierte $\frac{48}{(x-1{)}^5}$.

Daher gilt für die n'te Ableitung: $x^{(n)}=(-1{)}^n\frac{2n!}{(x-1{)}^{(n+1)}}$.

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 45