TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 135

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Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral \int_C(e^{-x}\;dx+\cos y\;dy+z^5\;dz) wegunabhängig ist und berechnen Sie es über einen Weg von (1, 2, 3) nach (−4, −5, −6).


Laut angabe muss man einen konkreten Weg vom Startpunkt zum Endpunkt angeben. Man kann, wie in der Vorlesung gezeigt, die direkte Verbindung nehmen. Einfacher ist es jedoch, auf achsenparallelen Teilstrecken zu gehen also:

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ -6 \\ \end{pmatrix}

Nun wende man folgende Formel für Kuvenintegrale an: \int_a^b ( C(t) ) \cdot \| C'(t) \| \mathrm{d}t

 C_1(t) = \begin{pmatrix} t \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad C_2(t) = \begin{pmatrix} -4 \\ t \\ 3 \end{pmatrix} \quad C_3(t) = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ t \end{pmatrix}

1 \leqslant t \leqslant -4 \qquad 1 \leqslant t \leqslant -5  \qquad \quad 3 \leqslant t \leqslant -6

c_1' = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \quad c_2' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \quad c_3' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

was eingesetzt ergibt:  \int_1^{-4} e^{-t} \mathrm{d}t + \int_2^{-5} cos(t) \mathrm{d}t + \int_3^{-6} t^5 \mathrm{d}t

integral in den grenzen ausrechnen, grenzen einsetzen und das beispiel ist erledigt.

(so wurde das von Prof. Urbanek vorgerechnet)

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Ähnliche Beispiele:

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