TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 2.6

[2 Punkte] Ein Körper mit der Masse $m$ steht auf einer schiefen Ebene mit dem Winkel $\alpha$ (siehe nicht existende Abbildung). Der Körper hat Anfangs die Geschwindigkeit $v$ und befindet sich im Abstand $s$ vom unterem Ende der schiefen Ebene. Auf den Körper wirkt die Schwerkraft $F=mg$. Sie können die Reibung zwischen Körper und schiefer Ebene vernachlässigen.

1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den Körper auf. Spalten Sie dazu die Gravitationsbeschleunigung $g$ in zwei Komponenten - parallel und normal zur schiefen Ebene - auf. Überlegen Sie, welche der beiden Komponenten auf den Körper wirkt und welche durch die schiefe Ebene kompensiert wird.
2. Berechnen Sie die maximale Steighöhe des Körpers
3. Berechnen Sie, wann der Körper das untere Ende der schiefen Ebene erreicht.

1) Bewegungsgleichung

Gravitationskraft: $F_{g}=mg$
Kraft normal zur Ebene: $F_{c}=mgcos(\alpha )$
Kraft parallel zur Ebene: $F_{ha}=mgsin(\alpha )$
$F_{c}$ wird von der Ebene kompensiert, $F_{ha}$ (Hangabtriebskraft) beschleunigt der Körper linear

Bewegungsgleichung: $x''={\frac {F_{ha}}{m}}=g*sin(\alpha )$
$x'=v=v_{0}-g*sin(\alpha )*t$
$x=s+vt=s+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}sin(\alpha )$

2) Maximale Steighöhe

wird erreicht, wenn der Körper wendet, also die Geschwindigkeit verschwindet:
$v=0$
$v_{0}=gt*sin(\alpha )$
$t_{1}={\frac {v_{0}}{g*sin(\alpha )}}$
$h_{max}=sin(\alpha )*x=sin(\alpha )*(s+v_{0}*{\frac {v_{0}}{g*sin(\alpha )}}-{\frac {1}{2}}*g*sin(\alpha )*({\frac {v_{0}}{g*sin(\alpha )}})^{2})=sin(\alpha )*(s+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{g*sin(\alpha )}})$

3) Zeit des Erreichens des unteren Endes der Ebene

$h=sin(\alpha )*x=0$
$x=0$
$0=g*sin(\alpha )t^{2}-v_{0}*t-s$
$t_{1,2}={\frac {v_{0}\pm {\sqrt {{v_{0}}^{2}+4g*sin(\alpha )}}}{2g*sin(\alpha )}}$
Wurzel ist sicher größer oder gleich $v_{0}$ und uns interessieren nur positive Zeiten, deshalb fällt der Term in dem die Wurzel abgezogen wird weg:

$t_{unten}={\frac {v_{0}+{\sqrt {{v_{0}}^{2}+4g*sin(\alpha )}}}{2g*sin(\alpha )}}$