TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 2.7

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[3 Punkte] Nehmen Sie an, ein Tennisball wird von einem hohen Turm vertikal nach unten fallen gelassen. In diesem Fall kann man mit guter Näherung annehmen, dass der Einfluss der Luft einer Kraft entspricht, die der Flugrichtung des Balls entgegengesetzt gerichtet ist und deren Größe durch gegeben ist, wobei eine Konstante ist und die Geschwindigkeit des Tennisballs ist.

  1. Wie lautet die Einheit von in SI-Einheiten?
  2. Überlegen Sie, wie man die Endgeschwindigkeit des Balls leicht ermitteln kann und bestimmen Sie diese.
  3. Berechnen Sie die Anfangsbeschleunigung des Balls, wenn er mit der doppelten Endgeschwindigkeit hinuntergeworfen bzw. hinaufgeworfen würde.
  4. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den fallengelassenen Ball auf, formen Sie diese geschickt um und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Balls als Funktion der Zeit (Hinweis: Da nur die Geschwindigkeit gefragt ist, ist es sinnvoll die Gleuchung nur für die Geschwindigkeit als Variable umzuformen. Trennung der Variablen! Dann kann man durch Integrieren die Lösung finden. Benutzen Sie Mathematica, wenn Sie auf ein kompliziertes Integral stoßen.)
  5. Nachdem Sie in Punkt 4 die Lösung händisch bestimmt haben, versuchen Sie mittels DSolve sowohl die ursprüngliche (Bewegungsgleichung) als auch die umgeformte Differentialgleichung zu lösen. Überprüfen Sie ob, alle drei Wege zum selben Ergebnis für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit führen. Wie ändert sich die Lösung bei Variaten der Parameter? Die Lösung als Mathematica (.nb) File hochladen!

1. Einheit von D in SI-Einheiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Luftwiderstand ist eine Kraft welche die Einheit Newton hat.

2. Endgeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Endgeschwindigkeit ist erreicht wenn keine Kraft mehr auf den Tennisball mehr wirkt, d.h. der Luftwiderstand so groß ist wie die Erdbeschleunigung.

3. Anfangsbeschleunigungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch aufbauen der Kräftegleichungen für den freien Fall mit Luftwiderstand und anschließendem einsetzen der doppelten Endgeschwindigkeit ergibt sich die Beschleunigung.

Wurf nach unten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wurf nach oben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

4. Geschwindigkeit als Funktion der Zeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]





Jetzt fällt uns natürlich auf das , das heißt wir können substituieren und gleichzeitig die Masse herauskürzen.




Hinweis: Dieses Integral wurde (wie durch die Angabe erlaubt) mittels Mathematica gelöst.




5. Mathematica[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

vollständige Mathematica Ausarbeitung

beweggl1= mv'[t] == D*v[t]^2-mg
DSolve[beweggl1, v, t]
g[v_] := m/(D*v[t]^2-mg)
h[t_] := 0
G[v_] := Integrate[g[v],v]
H[t_] := Integrate[h[t],t]
algSoln[v_, C_] = Solve[H[t] == G[v]+C, v]