TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 3.12

[3 Punkte] Die Dichte eines Kreiszylinders (Radius $R$, Höhe $H$) nehme gemäß $\rho (r)=\rho _{0}(1+(r/R)^{2})$ mit dem Abstand $r$ von der Figurenachse zu.

1. Wie groß ist der Trägheitsmoment bei Rotation um die Figurenachse, wenn $R=10cm$, $\rho _{0}=2kg/dm^{3}$ sind?
2. Wie lange braucht der Zylinder, um auf der schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha =10^{\circ }$ aus einer Höhe von $h=1m$ herabzurollen?

Lösungsansatz

Demtröder Kapitel 5, Übungsaufgabe 4 (Seite 180 des PDFs) - Lösung im Anhang auf Seite 474 (des PDFs)

Trägheitsmoment

$I=\int _{V}r^{2}\rho dV=2\pi H\rho _{0}\int _{r=0}^{R}[1+({\frac {r}{R}})^{2}]r^{3}dr$

$=2\pi \rho _{0}H[{\frac {1}{4}}R^{4}+{\frac {1}{6}}R^{4}]={\frac {10\pi }{12}}\rho _{0}HR^{4}$

$={\frac {5}{6}}\rho _{0}R^{2}V$

Die Masse ist: $M=\int _{V}\rho dV={\frac {3}{2}}\pi \rho _{0}HR^{2}$

$\Rightarrow I={\frac {5}{9}}MR^{2}$

Zahlenwerte: $M=18,885kg,I=0,105kgm^{2}$

Herabrollen

$a={\frac {gsin\alpha }{1+I_{S}/(MR^{2})}}={\frac {gsin10^{\circ }}{14/9}}$

$h={\frac {1}{2}}at^{2}\Rightarrow t=(2h/a)^{1/2}$

$t=1,35s$