TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 3.14

[3 Punkte] Die Abbildung (im Übungsblatt) zeigt eine Hantel mit zwei gleichen Massen, die als Punktmassen an einer dünnen masselosen Stange der Länge $l$ angenommen werden.

1. Zeigen Sie, dass die Schwingungsdauer dieses Pendels minimal ist, wenn der Drehpunkt $P$ in einer der Massen liegt.
2. Bestimmen Sie die Schwingungsperiode dieses physikalischen Pendels, wenn der Abstand zwischen P und der oberen Masse $l/4$ beträgt.
3. Es wird nun angenommen, dass der Stab die Masse $2m$ hat. Bestimmen Sie jetzt den Abstand zwischen der oberen Masse und dem Drehpunkt $P$ damit die Schwingungsperiode dieses physikalischen Pendels minimal wird.

Lösungsansatz

Aufgabe 14.24 im Tipler (Lösung auf Seite 11)

Minimale Schwingungsdauer

Mit der Masse m des Pendelkörpers und seinem Trägheitsmoment I bezüglich der Rotationsachse ist die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels gegeben durch

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}$

(Hinweis: Herleitung der Schwingungsdauer auf Wikipedia zu finden)

Darin ist d der Abstand vom Drehpunkt. Das Trägheitsmoment einer symmetrischen Hantel bezüglich einer Achse, die durch ihren Massenmittelpunkt verläuft und senkrecht auf der Verbindungslinie (mit der Länge l) und der beiden Massen m steht, ist

$I_{S}=m({\frac {l}{2}})^{2}+m({\frac {l}{2}})^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}$

Gemäß dem Steiner'schen Satz ist das Trägheitsmoment der Hantel bezüglich einer Achse im Abstand x vom Massenmittelpunkt $I=I_{S}+2mx^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}+2mx^{2}$. Das setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten die Schwingungsdauer

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}ml^{2}+2mx^{2}}{2mgx}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {g}}}{\sqrt {\frac {{\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2}}{x}}}$.

Wir leiten nun nach x ab:

${\frac {d}{dx}}{\frac {2\pi }{\sqrt {g}}}{\sqrt {\frac {{\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2}}{x}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {g}}}{\frac {2x^{2}-({\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2})}{x^{2}{\sqrt {({\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2})/x}}}}$.

Bei einem Extremwert muss dies null sein. Wir vergewissern uns, dass der Nenner des Bruchs nicht null sein kann, und setzen dann seinen Zähler gleich null: $2x^{2}-({\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2})=0$. Daraus ergibt sich $x={\frac {1}{2}}l$. Weil l der Abstand vom Massenmittelpunkt ist, bedeutet dies, das der Drehpunkt in einer der Massen liegt.

Anmerkung: Wir haben allerdings nur gezeigt das ein Extremwert vorliegt. Das er wirklich einem Minimum entspricht, kann man mit Hilfe der zweiten Ableitung $d^{2}T/dx^{2}$ zeigen, die bei $x=l/2$ positiv sein muss; alternativ kann auch der Graph der Funktion beurteilt werden.

Schwingungsperiode

Wir setzen $x=l/4$ in die obige Gleichung für die Schwingungsdauer ein:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {1}{4}}l^{2}+x^{2}}{gx}}}=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {1}{4}}l^{2}+({\frac {1}{4}}l)^{2}}{g({\frac {1}{4}}l)}}}=\pi {\sqrt {\frac {5l}{g}}}$

$T={\sqrt {\frac {5(2m)}{9,81ms^{-2}}}}=3,17s$

Abstand zwischen Masse und Drehpunkt

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