TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 3.14

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[3 Punkte] Die Abbildung (im Übungsblatt) zeigt eine Hantel mit zwei gleichen Massen, die als Punktmassen an einer dünnen masselosen Stange der Länge l angenommen werden.

  1. Zeigen Sie, dass die Schwingungsdauer dieses Pendels minimal ist, wenn der Drehpunkt P in einer der Massen liegt.
  2. Bestimmen Sie die Schwingungsperiode dieses physikalischen Pendels, wenn der Abstand zwischen P und der oberen Masse l/4 beträgt.
  3. Es wird nun angenommen, dass der Stab die Masse 2m hat. Bestimmen Sie jetzt den Abstand zwischen der oberen Masse und dem Drehpunkt P damit die Schwingungsperiode dieses physikalischen Pendels minimal wird.

Lösungsansatz[Bearbeiten]

Aufgabe 14.24 im Tipler (Lösung auf Seite 11)

Minimale Schwingungsdauer[Bearbeiten]

Mit der Masse m des Pendelkörpers und seinem Trägheitsmoment I bezüglich der Rotationsachse ist die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels gegeben durch

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

(Hinweis: Herleitung der Schwingungsdauer auf Wikipedia zu finden)

Darin ist d der Abstand vom Drehpunkt. Das Trägheitsmoment einer symmetrischen Hantel bezüglich einer Achse, die durch ihren Massenmittelpunkt verläuft und senkrecht auf der Verbindungslinie (mit der Länge l) und der beiden Massen m steht, ist

I_S = m (\frac{l}{2})^2 + m(\frac{l}{2})^2 = \frac{1}{2}ml^2

Gemäß dem Steiner'schen Satz ist das Trägheitsmoment der Hantel bezüglich einer Achse im Abstand x vom Massenmittelpunkt I = I_S + 2mx^2 = \frac{1}{2}ml^2 + 2mx^2. Das setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten die Schwingungsdauer

T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}ml^2 + 2mx^2}{2mgx}} = \frac{2\pi}{\sqrt{g}}\sqrt{\frac{\frac{1}{4}l^2 + x^2}{x}}.

Wir leiten nun nach x ab:

\frac{d}{dx}\frac{2\pi}{\sqrt{g}}\sqrt{\frac{\frac{1}{4}l^2 + x^2}{x}} = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \frac{2x^2 - (\frac{1}{4}l^2 + x^2)}{x^2\sqrt{(\frac{1}{4}l^2+x^2)/x}}.

Bei einem Extremwert muss dies null sein. Wir vergewissern uns, dass der Nenner des Bruchs nicht null sein kann, und setzen dann seinen Zähler gleich null: 2x^2-(\frac{1}{4}l^2+x^2) = 0. Daraus ergibt sich x = \frac{1}{2}l. Weil l der Abstand vom Massenmittelpunkt ist, bedeutet dies, das der Drehpunkt in einer der Massen liegt.

Anmerkung: Wir haben allerdings nur gezeigt das ein Extremwert vorliegt. Das er wirklich einem Minimum entspricht, kann man mit Hilfe der zweiten Ableitung d^2 T/dx^2 zeigen, die bei x = l/2 positiv sein muss; alternativ kann auch der Graph der Funktion beurteilt werden.

Schwingungsperiode[Bearbeiten]

Wir setzen x = l/4 in die obige Gleichung für die Schwingungsdauer ein:

T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{4}l^2 + x^2}{gx}} = 2\pi  \sqrt{\frac{\frac{1}{4}l^2 + (\frac{1}{4}l)^2}{g(\frac{1}{4}l)}} = \pi \sqrt{\frac{5l}{g}}

T = \sqrt{\frac{5(2m)}{9,81ms^{-2}}} = 3,17s

Abstand zwischen Masse und Drehpunkt[Bearbeiten]

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