TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 4.19

[5 Punkte] Eine Membran der Dichte $\rho$ sei auf einem rechteckigem Rahmen der Dimension $L1\times L2$ mit der Spannung $\sigma$ gespannt. Ein solches zweidimensionales Problem kann durch die Wellengleichung

${\frac {\rho }{\sigma }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,y,t)-({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}})u(x,y,t)$

beschrieben werden.

Lösen Sie dieses Problem mittels Mathematica durch numerisches Lösen der partiellen Differentialgleichung. Dazu überlegen Sie sich zuerst die dem Problem adäquaten Randbedingungen, z.B. $u(L1,y,t)=0$. Für die Anfangsbedingungen können Sie einerseites $u(x,0,t)=0$ wählen und andererseits für die Anfangsgeschwindigkeit (Anregung zum Zeitpunkt $t=0$) eine geeignete Funktion, die mit den Randbedingungen konsistent ist z.B. siehe (hier nicht vorhandene) Abbildung unten für 2 Möglichkeiten:

[Für Abbildung bitte im Übungsblatt 4 nachschauen]

Hinweis: Für die Anfangsgeschwindigkeit verwenden Sie die Mathematicafunktion Derivative und nicht einfach D. Warum?

Wie muss die Membran angeregt werden, damit sie in einer möglichen Eigenschwingung schwingt?

Wie verhält sie sich sonst?

Zeigen Sie dies an möglichen Lösungen. Mathematicafile muss für Punkte abgegeben werden.