TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 5.23

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[6 Punkte bei Abgabe des Mathematicafiles] Auf einer Platte sind mehrere Punktladungen verteilt. Am Punkt p_1 befindet sich eine positive Ladung mit dem Wert q_1. Am Punkt p_2 befindet sich eine negative Ladung mit dem Wert q_2 und am Punkt p_3 befindet sich eine ebenfalls negative Ladung mit dem Wert q_3.

\vec p_1 = \left(\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \vec p_2 = \left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
-3
\end{array}\right), \vec p_3 = \left(\begin{array}{c}
7 \\
4 \\
2
\end{array}\right)

|q_1|=4 C, |q_2|=7 C, |q_3|=6 C

  1. Berechnen Sie zuerst das elektrische Feld in den Punkten \vec p_4 = \left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \vec p_5 = \left(\begin{array}{c}
5 \\
5 \\
5
\end{array}\right), \vec p_6 = \left(\begin{array}{c}
2 \\
4 \\
1
\end{array}\right)
  2. Verwenden Sie Mathematica, um das elektrische Feld sowie das Potential in einem beliebigen Punkt (x,y,z) des Raumes zu berechnen. Überlegen Sie wie Sie das Feld und das Potential (Äquipotentialflächen) darstellen können und visualisiern (studieren) Sie diese für veränderliche Lagen der Punkte sowie Größe der Ladungen (positiv und negativ). Mathematicafile hochladen!

Unterlagen[Bearbeiten]

Demtröder - Elektrizitat und Optik Multipolentwicklung (Seite 34 des PDFs)

Paus - Kapitel 21 (Seite 4-6 des PDFs)

Elektrisches Feld[Bearbeiten]

Der Feldstärkevektor (an Position \vec P) in einer Entfernung von einer Punktladung (an Position \vec p mit der Ladung Q) lässt sich (laut Wikipedia) vektoriell berechnen.

\vec E(\vec P) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon_r}\frac{Q}{|\vec P - \vec p|^2}\frac{\vec P - \vec p}{|\vec P - \vec p|}

Hinweis

Eine Herleitung dieser Formel aus dem coulomb'schen Gesetz wäre sinnvoll für eine vollständige Lösung dieses Beispiels. Herr Husinsky mag Herleitungen.


Wobei \epsilon_0 die elektrische Feldkonstante und \epsilon_r die relative Permitivität des Materials (für Vakuum ist diese 1) ist.

Falls nun mehrere Punktladungen auf den untersuchten Punkt einwirken, lassen sich die Feldstärkevektoren einfach vektoriell addieren (Superpositionsprinzip).

\vec E(\vec P) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon_r} \sum_i \frac{Q_i}{|\vec P - \vec p_i|^2}\frac{\vec P - \vec p_i}{|\vec P - \vec p_i|}

Feldstärkevektor in Punkt \vec p_4[Bearbeiten]

\left(
\begin{array}{c}
-7.76186 \times 10^9\\
3.76339\times 10^8\\
-8.99575\times 10^9\\
\end{array}\right)

Feldstärkevektor in Punkt \vec p_5[Bearbeiten]

\left(
\begin{array}{c}
2.09383 \times 10^9\\
-7.4611\times 10^8\\
-3.04172\times 10^9\\
\end{array}\right)

Feldstärkevektor in Punkt \vec p_6[Bearbeiten]

\left(
\begin{array}{c}
1.31485 \times 10^9\\
1.28832\times 10^9\\
-5.51815\times 10^8\\
\end{array}\right)

Potentialfeld[Bearbeiten]

Das Coulomb-Potential für eine Punktladung Q in einer Entfernung r:

\phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}

Falls mehrere Punktladungen im gesuchten Punkt wirken, lassen sich die Potentiale enifach addieren:

\phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_i\frac{Q_i}{r_i}

Mathematica[Bearbeiten]

Mathematica Ausarbeitung (PDF)

Nützliche Vektoroperationen[Bearbeiten]

EuclideanDistance

Norm

Hilfreiche Plots[Bearbeiten]

ContourPlot

VectorPlot

StreamPlot