TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 5.23

[6 Punkte bei Abgabe des Mathematicafiles] Auf einer Platte sind mehrere Punktladungen verteilt. Am Punkt $p_{1}$ befindet sich eine positive Ladung mit dem Wert $q_{1}$. Am Punkt $p_{2}$ befindet sich eine negative Ladung mit dem Wert $q_{2}$ und am Punkt $p_{3}$ befindet sich eine ebenfalls negative Ladung mit dem Wert $q_{3}$.

${\vec {p}}_{1}=\left({\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}}\right)$, ${\vec {p}}_{2}=\left({\begin{array}{c}-1\\0\\-3\end{array}}\right)$, ${\vec {p}}_{3}=\left({\begin{array}{c}7\\4\\2\end{array}}\right)$

$|q_{1}|=4C$, $|q_{2}|=7C$, $|q_{3}|=6C$

1. Berechnen Sie zuerst das elektrische Feld in den Punkten ${\vec {p}}_{4}=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right)$, ${\vec {p}}_{5}=\left({\begin{array}{c}5\\5\\5\end{array}}\right)$, ${\vec {p}}_{6}=\left({\begin{array}{c}2\\4\\1\end{array}}\right)$
2. Verwenden Sie Mathematica, um das elektrische Feld sowie das Potential in einem beliebigen Punkt $(x,y,z)$ des Raumes zu berechnen. Überlegen Sie wie Sie das Feld und das Potential (Äquipotentialflächen) darstellen können und visualisiern (studieren) Sie diese für veränderliche Lagen der Punkte sowie Größe der Ladungen (positiv und negativ). Mathematicafile hochladen!

Unterlagen

Demtröder - Elektrizitat und Optik Multipolentwicklung (Seite 34 des PDFs)

Paus - Kapitel 21 (Seite 4-6 des PDFs)

Elektrisches Feld

Der Feldstärkevektor (an Position ${\vec {P}}$) in einer Entfernung von einer Punktladung (an Position ${\vec {p}}$ mit der Ladung $Q$) lässt sich (laut Wikipedia) vektoriell berechnen.

${\vec {E}}({\vec {P}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}{\frac {Q}{|{\vec {P}}-{\vec {p}}|^{2}}}{\frac {{\vec {P}}-{\vec {p}}}{|{\vec {P}}-{\vec {p}}|}}$

Hinweis Eine Herleitung dieser Formel aus dem coulomb'schen Gesetz wäre sinnvoll für eine vollständige Lösung dieses Beispiels. Herr Husinsky mag Herleitungen.

Wobei $\epsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante und $\epsilon _{r}$ die relative Permitivität des Materials (für Vakuum ist diese 1) ist.

Falls nun mehrere Punktladungen auf den untersuchten Punkt einwirken, lassen sich die Feldstärkevektoren einfach vektoriell addieren (Superpositionsprinzip).

${\vec {E}}({\vec {P}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}\sum _{i}{\frac {Q_{i}}{|{\vec {P}}-{\vec {p}}_{i}|^{2}}}{\frac {{\vec {P}}-{\vec {p}}_{i}}{|{\vec {P}}-{\vec {p}}_{i}|}}$

Feldstärkevektor in Punkt ${\vec {p}}_{4}$

$\left({\begin{array}{c}-7.76186\times 10^{9}\\3.76339\times 10^{8}\\-8.99575\times 10^{9}\\\end{array}}\right)$

Feldstärkevektor in Punkt ${\vec {p}}_{5}$

$\left({\begin{array}{c}2.09383\times 10^{9}\\-7.4611\times 10^{8}\\-3.04172\times 10^{9}\\\end{array}}\right)$

Feldstärkevektor in Punkt ${\vec {p}}_{6}$

$\left({\begin{array}{c}1.31485\times 10^{9}\\1.28832\times 10^{9}\\-5.51815\times 10^{8}\\\end{array}}\right)$

Potentialfeld

Das Coulomb-Potential für eine Punktladung $Q$ in einer Entfernung $r$:

$\phi (r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}$

Falls mehrere Punktladungen im gesuchten Punkt wirken, lassen sich die Potentiale enifach addieren:

$\phi (r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}}$

Mathematica

Mathematica Ausarbeitung (PDF)

Nützliche Vektoroperationen

EuclideanDistance

Norm

Hilfreiche Plots

ContourPlot

VectorPlot

StreamPlot

Materialien

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P

• Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS13.pdf (details)