TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 1.20

[Klassische Wahrscheinlichkeit] Eine Lade enthält 10 verschiedene Sockenpaare. Wenn 8 Socken zufällig entnommen werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß (a) kein Paar, (b) genau ein Paar darunter ist?

Lösungsvorschlag

Die Wahrscheinlichkeit sind immer die ${\frac {guenstigenFaelle}{moeglichenFaelle}}$

(a)

Bei der ersten Socke die man entnimmt ist es egal welche Socke man nimmt, d.h. 20 mögliche und 20 günstige

Bei der zweiten Socke ist das nicht mehr ganz so: Eine hat man ja schon gezogen, d.h. man hat nur noch 19 mögliche aber nur noch 18 günstige Fälle (weil man die 2. Socke von der, die man schon gezogen hat, nicht mehr erwischen darf)

Bei der dritten wieder: man hat noch 17 Mögliche aber jetzt schon 4 "blockierte" (2 gezogen und die jeweils zugehörigen in der Menge), d.h. 16 Günstige

Alle diese Fälle müssen gemeinsam eintreten, damit werden sie multipliziert

$\Rightarrow {\frac {20}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {16}{18}}\cdot {\frac {14}{17}}\cdot {\frac {12}{16}}\cdot {\frac {10}{15}}\cdot {\frac {8}{14}}\cdot {\frac {6}{13}}=0,09145$

(b)

Ähnlich wie oben, nur muss man berücksichtigen, an welcher Stelle nun die Socke gezogen wird, die das Paar vollständig macht:

An der zweiten Stelle würde es so aussehen:

$\Rightarrow {\frac {20}{20}}\cdot {\frac {1}{19}}\cdot {\frac {18}{18}}\cdot {\frac {16}{17}}\cdot {\frac {14}{16}}\cdot {\frac {12}{15}}\cdot {\frac {10}{14}}\cdot {\frac {8}{13}}$

Erst hier kann das erste Mal ein Paar vollständig sein und man hat nur eine Möglichkeit (von 19) ein Paar Vollständig zu machen.

Bei den restlichen Ziehungen darf man wieder immer nur einzelne erwischen (wie bei (a) )

An der dritten Stelle :

$\Rightarrow {\frac {20}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {2}{18}}\cdot {\frac {16}{17}}\cdot {\frac {14}{16}}\cdot {\frac {12}{15}}\cdot {\frac {10}{14}}\cdot {\frac {8}{13}}$

An der vierten Stelle :

$\Rightarrow {\frac {20}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {16}{18}}\cdot {\frac {3}{17}}\cdot {\frac {14}{16}}\cdot {\frac {12}{15}}\cdot {\frac {10}{14}}\cdot {\frac {8}{13}}$

Je mehr Stellen man also nach hinten geht, desto mehr Möglichkeiten hat man, um ein Paar vollständig zu machen.

Nachdem lt. Fragestellung egal ist, wann genau das Paar komplett sein muss, werden alle diese Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:

$\Rightarrow {\frac {20}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {16}{18}}\cdot {\frac {14}{17}}\cdot {\frac {12}{16}}\cdot {\frac {10}{15}}\cdot {\frac {8}{14}}\cdot {\frac {1}{13}}\cdot \left(1+2+3+4+5+6+7\right)=0,42677$

Diskussion

Hier wird nicht nur mit der klassischen Wahrscheinlichkeit gerechnet, wie in der Angabe "gefordert" ist (es ist als Aufgabentyp angegeben, daher sollte man es auch so interpretieren). Das wurde sowohl von mir als auch von meinem Tutor so verstanden. Es kommt das richtige raus, aber es ist eben der falsche Weg.

Wie oben richtig angegeben, ist die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit "günstige durch mögliche". Nun muss man sich überlegen, was $g$ und $m$ ist.

$m$ sind in diesem Fall die Möglichkeiten, eine 8-elementige Menge aus einer 20-elementigen Menge zu ziehen. Das ist die Definition des Binomialkoeffizienten

$m={20 \choose 8}$.

Wenn man nun kein einziges Paar haben will, zieht man nun 8 Socken aus 10 Paaren, hat aber jedes Mal entweder die eine oder die andere Socke des Paars zur Auswahl.

$a){\frac {{2 \choose 1}^{8}\cdot {10 \choose 8}}{20 \choose 8}}\approx 9,145\%$

Bei der zweiten Aufgabe ist die Lösung ähnlich. Hier zieht man ein Paar von 10, danach aber noch 6 Socken aus den übriggebliebenen 9 Paaren, und dort hat man wieder die Auswahl zwischen der einen oder der anderen Socke. Da man wieder 8 Socken aus 20 zieht, bleibt $m$ gleich.

$b){\frac {{10 \choose 1}\cdot {9 \choose 6}\cdot {2 \choose 1}^{6}}{20 \choose 8}}\approx 42,677\%$

Anm.: ${n \choose 1}$ ist natürlich immer $n$, aber mit dieser Notation ist es meiner Meinung nach klarer, wo die Zahlen herkommen.