TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.16

[Unabhängige Ereignisse] Das folgende System funktioniert nur, wenn es einen Pfad aus funktionierenden Komponenten von links nach rechts gibt. Die angegebenen Werte sind die Intaktwahrscheinlichkeiten der Komponenten. Man nehme an, daß die Komponenten unabhängig voneinander funktionieren/ausfallen.

(a) Wie lautet ein passender Merkmalraum? Wieviele Elemente hat er? Wie lautet und aus wievielen Elementen besteht das zugehörige Ereignisfeld?

(b) Beschreiben Sie auf Basis von (a) die Ereignisse {Komponente i funktioniert} und {System funktioniert}.

(c) Berechnen Sie P({System funktioniert}).

(a)

Jedes dieser Komponenten kann funktionieren oder aber auch nicht. D.h. der Merkmalraum sieht folgendermaßen aus:

$M=\{(000000),\ldots ,(111111)\}$

Dabei steht die 0 für "nicht funktionieren", die 1 für "funktionieren". Somit hat der Merkmalraum $|M|=2^{6}=64$ Elemente. Das Ereignisfeld wurde bei uns in der Übung leider vernachlässigt, aber laut Folien ist es die Potenzmenge von $M$, also 2^|M|. Was genau das aber aussagt, ist mir leider nicht klar.

(b)

Das Ereignis $E_{i}$, das bedeutet, dass die Komponente $K_{i}$ funktioniert, ist die Menge aller Elemente, in denen das i-te Element 1 ist.

Das Ereignis $E$, das bedeutet, dass das gesamte System funktioniert, lässt sich folgendermaßen beschreiben: $E=(E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3})\cap (E_{4}\cup E_{5})\cap E_{6}$ Es muss einen funktionierenden Weg geben, also muss eine der ersten drei parallelen Komponenten zusammen mit einer der beiden nächsten parallelen Komponenten sowie die letzte Komponente funktionieren.

(c)

In diesem Schritt berechnet man einfach die Wahrscheinlichkeit des eben benannten Ereignisses E. Bei parallelen Systemen muss mindestens eine Komponente funktionieren, das ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu "keine Komponente funktioniert", wofür man logischerweise die Gegenwahrscheinlichkeiten der Funktionswahrscheinlichkeit der einzelnen Komponenten multipliziert.

$P(E)=P(E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3})\cdot P(E_{4}\cup E_{5})\cdot P(E_{6})=(1-(0,1)^{3})\cdot (1-(0,05)^{2})\cdot 0,99=0,999\cdot 0,9975\cdot 0,99\approx 98,65\%$