TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.19

[Bernoulli Versuche] Unabhängige Versuche, die mit Wahrscheinlichkeit p zu einem Erfolg und mitWahrscheinlichkeit 1−p zu einemMißerfolg führen, nennt man Bernouilli Versuche. Sei Pn die Wahrscheinlichkeit, dass es bei n derartigen Versuchen eine gerade Anzahl von Erfolgen gibt (0 sei eine gerade Anzahl). Zeigen Sie: $P_{n}=p*(1-P_{n-1})+(1-p)*P_{n-1},n\geq 1(P_{0}:=1)$

Verwenden Sie diese Gleichung um zu zeigen (Induktion), dass: $P_{n}={\frac {1+(1-2*p)^{n}}{2}}$

Lösungsvorschlag

Angabe

$Pn=p*(1-P_{n-1})+(1-p)*P_{n-1},n\geq 1$

$Pn={\frac {1+(1-2p)^{n}}{2}}$

Induktionsanfang

Der Induktionsanfang ist mit $P_{0}$ gegeben. Ich weiß nicht, ob es nötig ist, aber ich prüfe, ob dies beim Bruch raus kommt.

$P_{0}={\frac {1+(1-2*p)^{0}}{2}}=1$

Also passt es.

Induktionsschritt

Nun müssen wir den Induktionsschritt (von n $\rightarrow$ n+1) zeigen, also:

$p*(1-P_{n})+(1-p)*P_{n}={\frac {1+(1-2*p)^{n+1}}{2}}$

Dazu habe ich im linken Teil einmal die Pn ersetzt durch die Induktionsvoraussetzung.

$p*(1-{\frac {1+(1-2p)^{n}}{2}})+(1-p)*{\frac {1+(1-2p)^{n}}{2}}={\frac {1+(1-2*p)^{n+1}}{2}}$

Nun habe ich *2 gerechnet, da es dann einfacher wird. In den nächsten Schritten forme ich die Gleichung um (herausheben, etc.).

$p*(2-(1+(1-2p)^{n}))+1+(1-2p)^{n}-p*(1+(1-2p)^{n})=1+(1-2*p)^{n+1}$

auf jeder Seite fällt eine 1 weg, ausmultiplizieren der p*(...)

$p-p*(1-2p)^{n}+(1-2p)^{n}-p-p*(1-2p)^{n}=(1-2*p)^{n+1}$

p-p fält weg, die beiden p*(..) kann man als 2p*(..) zusammen fassen.

$(1-2p)^{n}-2p*(1-2p)^{n}=(1-2*p)^{n+1}$

Herausheben von der Klammer hoch n

$(1-2p)^{n}*(1-2p)=(1-2*p)^{n+1}$

q.e.d.