TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.21

[Unabhängige Versuche] Betrachten Sie die Situation von Aufgabe 2.20. Einfachheitshalber werde hier angenommen, daß p1 = p2 = · · · = pm = 1/m.

a) Wenn m unabhängige Versuche durchgeführt werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß jeder mögliche Ausgang vorkommt?

b) Ei sei das Ereignis, daß unter den ersten n Versuchen der Ausgang i nicht vorkommt. Bestimmen Sie P(Ei).

c) Bestimmen Sie $P\bigcup _{i=1}^{m}E_{i}$. (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem.)

d) Wenn m = 10, wieviele Versuche sind nötig, sodaß mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 alle möglichen Ausgänge vorkommen?

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}&i=1,2,\ldots m\\&p_{1}=p_{2}=\ldots =p_{m}={\frac {1}{m}}\\\displaystyle &\sum _{i=1}^{m}p_{i}=1\end{aligned}}$

a)

${\frac {m}{m}}\cdot {\dfrac {m-1}{m}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{m}}=\left({\dfrac {m!}{m^{m}}}\right)=m!\left({\frac {1}{m}}\right)^{m}$

b)

$P(E_{i})=\left({\dfrac {m-1}{m}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {1}{m}}\right)^{n}$

c)

Additionstheorem (in diesem Fall):

$P(\cup _{i=1}^{m}E_{i})=\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k+1}{\binom {m}{k}}\cdot P(E_{i_{1}}\cap \cdots \cap E_{i_{k}})$

(bitte jemand erklären, der das durchschaut...)

${\begin{aligned}P(E_{i})&=\left({\dfrac {m-1}{m}}\right)^{n}\quad \ldots \ A_{i}\ {\text{kommt nicht vor}}\\P(E_{j}\cap E_{i})&=\left({\dfrac {m-2}{m}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {2}{m}}\right)^{n}=\left(1-\left({\frac {1}{m}}+{\frac {1}{m}}\right)\right)^{n}\quad \ldots \ {\text{weder}}\ A_{i}\ {\text{noch}}\ A_{j}\ {\text{kommen vor}}\\\Rightarrow P(E_{ij_{1}}\cap E_{ij_{2}}\cap \cdots \cap E_{ij_{k}})&=\left(1-{\frac {k}{m}}\right)^{n}=\left({\dfrac {m-k}{m}}\right)^{n}\quad \ldots {\text{keines der k}}\ A_{i}\ {\text{kommen vor}}\\P\left(\bigcup _{i=1}^{m}E_{i}\right)&=\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k+1}{\binom {m}{k}}\cdot \left({\frac {m-k}{m}}\right)^{n}\quad \ldots {\text{ins Additionstheorem eingesetzt}}\end{aligned}}$

d)

$P({\text{alle}}\ A_{i})=1-P(\cup _{i=1}^{m}E_{i})$

10 Versuche: es können $A_{1}$ bis $A_{10}$ auftreten

$\Rightarrow$ n erhöhen, bis $1-P(\cup _{i=1}^{m}E_{i})\geq 0,9$

$1-\sum _{k=1}^{10}\left[(-1)^{k+1}{\binom {10}{k}}\left({\frac {10-k}{10}}\right)^{n}\right]\geq 0,9$

$\Rightarrow n=44;P=0,9054$

(alle Angaben ohne Gewähr, ich hab es nicht wirklich verstanden)

von --Raven24 (Diskussion) 19:51, 29. Sep. 2014 (CEST)

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