TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.23

[Bedingte Wahrscheinlichkeit] Betrachten Sie das 2-aus-4–Systeme von Aufgabe 2.22. Nehmen Sie an, daß jede Komponente mit der identischen Wahrscheinlichkeit von p = 1/2 intakt ist. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Komponente 1 funktioniert, wenn das System funktioniert.

Lösungsvorschlag

$P(X_{1})={\frac {1}{2}}$

$P(X=2)={\binom {4}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{4-2}={\frac {3}{8}}$

$P(X=3)={\binom {4}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{4-3}={\frac {1}{4}}$

$P(X=4)={\binom {4}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{4-4}={\frac {1}{16}}$

$P({\text{System}})=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}={\frac {11}{16}}$

${\begin{aligned}P({\text{System}}|X_{1})&={\binom {3}{1}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{1}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{3-1}\\&+{\binom {3}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{3-2}\\&+{\binom {3}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{3-3}\\&={\frac {7}{8}}\end{aligned}}$

$P(X_{1}|{\text{System}})={\dfrac {P({\text{System}}|X_{1})\cdot P(X_{1})}{P({\text{System}})}}={\dfrac {{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {1}{2}}}{\frac {11}{16}}}={\frac {7}{11}}$

von --Raven24 (Diskussion) 13:17, 1. Okt. 2014 (CEST) (aus dem Forum übernommen)

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