TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 2.4

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

[Borelmengen] Das Ereignisfeld der Borelmengen in ist definiert als das kleinste Ereignisfeld, das alle halboffenen Intervall der Form (a, b] (a < b, a, b ∈ R) umfaßt. Zeigen Sie, daß (1) alle einpunktigen Mengen {a}, (2) alle offenen Intervalle (a, b) und (3) alle abgeschlossenen Intervalle [a, b] Borelmengen sind.

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man sollte wissen dass Borelmengen abgeschlossen sind gegenüber Vereinigung und Komplementbildung, das bedeutet dass wenn man 2 Borelmengen vereinigt, wieder eine Borelmenge rauskommt, und dass das Komplement einer Borelmenge wieder eine Borelmenge ist.

1) ist definitionsgemäß eine Borelmenge. Daher ist auch ihr Komplement eine Borelmenge. Auch ist dann eine Borelmenge, folglich auch ihr Komplement ist eine. Jetzt können wir De Morgan anwenden und erhalten:

und damit hätten wir es gezeigt. Man nähert sich von links also dem a immer mehr an, erreicht es aber nie, deshalb ist das a immer im Durchschnitt drinnen.


2) ist definitionsgemäß eine Borelmenge. Daher auch . Man nähert sich dem b von links an, erreicht es aber nie. Vereinigt man alle Mengen, ist also dieses b nicht drinnen, deshalb ist das Intervall ein offenes.


3) ist eine Borelmenge, ist auch eine. Auch ihre Vereinigung ist eine Borelmenge:

Diese Lösung wurde in der Übung als richtig anerkannt.