TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 3.3

[Geometrische Verteilung] Ein Behälter enthalte N weiße und M schwarze Kugeln. Die Kugeln werden eine nach der anderen zufällig mit Zurücklegen solange gezogen, bis man eine schwarze Kugel bekommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dazu:

(a) genau n Ziehungen benötigt?

(b) mindestens k Ziehungen benötigt?

Lösung

a)

n=1: ${\frac {M}{N+M}}$

n=2: ${\frac {M}{N+M}}*{\frac {N}{N+M}}$

n=3: ${\frac {M}{N+M}}*\left({\frac {N}{N+M}}\right)^{2}$

n: ${\frac {M}{N+M}}*\left({\frac {N}{N+M}}\right)^{n-1}$

b)

Hinweis: Man benötigt mindestens k Ziehungen wenn die ersten k-1 Ziehungen weiß sind.

k-1 sind weiß: ${\frac {N}{N+M}}^{k-1}$

k kann dann weiß oder schwarz sein: ${\frac {N+M}{N+M}}=1$

$\Rightarrow {\frac {N}{N+M}}^{k-1}*1={\frac {N}{N+M}}^{k-1}$

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